フロケの定理の初学

x^{'}(t) = A(t) x(t) + b(t)

Aは複素正方行列

 

fundamental matrixは、ここでは、n個の線形独立な解で構成された行列。

X(t) = Q(t)e^{Bt}

Q(0) = I

 

モノドロミー行列, monodromy matrix

C = X^{-1}(0)X(T)

 

https://www.12000.org/my_notes/liapunov_floquet_transformation/bMATH_2018_FolkersE.pdf

 

微分方程式。

物理。

n th order 微分方程式

ODE

多変数になったら、偏微分方程式。

 

x^{'} (t) = A(t) x(t) + b(t)

Aは複素行列

bが０のとき、homogeneousという。

基本解行列。線形独立な解から構成される行列。

固有値と固有ベクトルのペアから解が出てくる。

x_i(t)= v_i e^{\lambda_i t}

 

1階線形微分方程式はシンプルに表される。

しかし、係数部分が周期性をもつと話は変わる。

自然科学

 

数理生物では、季節という周期性や、概日リズムという周期性がある。心拍も周期的な運動。月の満ち欠けも周期的な桃のだ。信号も周期的。

 

至るところに周期性が見える。

x^{'} (t) = A(t) x(t)

A(t) = A(t + T)

 

このとき、基本解を構成するのはむずかしい。

Floquetが基本解を見つける方法を作った。

 

これが、 X(t) = Q(t) e^{Bt}

Q \in C^1 (\mathbb{R})は周期Tの行列で、

X(T) = e^{BT}であり、 Q(0) = Q(T) = Iであり、 Q(t)は正則行列である。

x^{'} (t) = A(t) x(t)

 

周期係数の基本解行列

b = 0の時の、ことを考える。

 

周期行列 A(t + T) = A(t)

Y(t) = X(t) Bも基本解行列になる。

ただし、行列式が0でない行列 B

 

基本解行列 X(t)を考えると、

X(t + T) = X(t) Cとなるような行列式が0でない行列 Cが存在する。

 

C = X^{-1}(0)X(T)という形で表される。

 

 

行列式が０でない行列 Cについて、対数を取っていく。

e^B = C

ここで、 Bは複素正方行列

 

フロケの定理

Floquet's Theorem

基本解行列 X(t)

X(t) = Q(t) e^{Bt}

周期Tの Q \in C^1 (\mathbb{R})

 

Q(0) = I、 Q(t)は正則行列

 

 

Lyapunov-Floquet transformation

リヤプノフ-フロケ変換

x = Q(t) yという形で変換すると、

y^{'} = Byという式が出てくる。

 

この周期性のある部分を全て、yという部分に押し込めることで、 Bなるconstant matrixの1階線形微分方程式にすることができる。

B = \frac{1}{T} \log(X(T))

 

フロケ乗数

X(t + T) = X(t) C

C = X^{-1}(0)X(T)をモノドロミー行列という。モノドロミー行列のような固有値を、フロケ乗数という。

フロケ指数は、 Bの固有値のこと。

\lambda_j = e^{\mu_j T}

 

 

フロケ系の安定性

ε-δ論法を使う。

 

Hillの微分方程式

y^{''} + f(t) y = 0

ただし、周期性として f(t) = f(t + T)を持たせる。