ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

Lamplighter Group

Lamplighter 群

Lamplighter group - Wikipedia

  • 制限輪積 \mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}
  • introduction
    • 群を、正負双方に無限に繋がるランプの列として考える
    • それぞれのランプが明かりがついてるか、消えてるかの2通りである。
    • そして、ランプをつける人が l_kに立っている。
    • 書き方を変えると、 B = \bigoplus_{\infty}^{\infty} \mathbb{Z}_2
      • Z_2は、明かりがついてるか消えてるか
      • どの明かりがついてるかは、それぞれの明かりについての情報の直和で表せる。
      • さらに、ここに、ランプをつける人の場所を返すような関数があればOK
    • 群に追加でgeneratorを考える
      • t
        • ランプをつける人が次ぎのランプに移動できるように、k足す
      • a
        • ランプを状態を変える
        •  l_kでのランプをONからOFF、もしくは、OFFからONへ
  • Presentation
    • リース積で表される
      • リース積? (→別記事で!)
  • 行列表現
    • tを変数とすると、kを整数として、2×2の行列を作る。
      • 要素に、t^k、tの多項式p、0、1が入る。
    • ランプライター群が、その行列と同型になる。
      • aやtも同じように行列で表現することが出来る。
  • 一般化 
    •  ランプの状態を2通りから、n通りに拡張することが出来る。 
      • そうなると、aみたいな操作が、n(n-1)/2個ある、ということになる。
      • 面白そう。

 

Quick reading について

こちらの文献をまとめる。

Quick reading | Learning essentials (auckland.ac.nz)

  • アカデミックな教材を読むのに時間がかかりすぎてはいないだろうか。
    • 例えば、論文を1つ読むのに、3日とか。
  • 読み方を非効率にする要素はいくつかある。
    • 例えば、
      • 読むことへの集中力
      • 読み慣れ
        • 読む頻度が少ないから
      • 読むものに対する知識がない
      • 読む時の状況把握、既知の事の整理、探し物を整理。
      • 自分がどこを読んでいるかわかっているか
      • 読み方(音読、暗誦)
      • 読む速さ(状況依存的に読んでいるか)
  • どうしたらもっと効率的に読めるか
    • 良い読む環境を整えること。
      • 例えば、ケータイやテレビの無い所にする
      • 読むことに集中することができるように。
    • 読む癖を改善する
      • 一日15分アカデミックの文献を読むことは、継続するうちに、読むスピードを速くする。
      • 興味のある、少し知っているトピックを読む
      • ノートかまとめを作る。
      • 呼んだことを伝えられる・話せるように確かなものにする。
        • ぼんやり読んだことにしない。
      • 能動的に読む
        • 注意する、ということも同じだろう。
    • 背景知識を使う。
      • 流暢に読むとは、文章の情報と、自分が知っている情報(知識、経験)と相互作用することによって可能になる。
      • だから、予め、背景知識を蓄えるべき。
    • 能動的に効率的に読む技術
      • Survey
      • Skim
        • 全体の構造をつかむ操作である。
          • 例えば、
          • アブストラクトを見たり、ヘッダーを見たりと、パラグラフの最初と最後を見たりと、
        • 斜め読み
      • Scan
        • キーワードや概念を同定することで、特定の情報を探す。
        • メリットは、頭にある考えや仮説を持っている時に、それを確認するのに役立つ。
        • 拾い読み
    • 技術
      • 単語ではなく、句で読む・クラスタリング(塊として扱う)
      • 関係を大事にする・概念をつかむ
      • 読まない
    • 語彙を増やす。

 

To understand quickly.

I want to understand what others say immediately.

So, I searched for related document, and I found a nice article. Here.

『人の話を理解するのに時間がかかる』3つの特徴と原因&2つの改善策 | 内向型人間の進化論 (mublog01.com)

Let's start.

 

The reason why you have to spend so much time to understand some information is just you have too much stress on your working memory.

Working memory is a type of information storing system, and it is a temporal storage of information.

 

Working memory has 3 characteristics.

1. It can handle up to 3~7 information.

2. It concentrates on onlly neessary information.

3. It delete irrelevant information one after another.

 

Based on these knowledge, the author explains the reason, like this.

 

When we cannot understand something quickly, It may be due to the attention to the irrelevant information that occupy your limited working memory.

And those who care about irrevant information tend to become so anxious that they always check whether they miss some information. (I agree with their opinion that parsonality has some impact on the capability of memorizing.)

 

And in that article, the author recommends to write diary or memo, and do meditation to reduce stress, so as to be "quick understander"

 

Grushinラプラシアン

こちらの文献の一部を見てみる。

2009.03130.pdf (arxiv.org)

Grushin Laplacian  \Delta_G = \Delta_x + |x|^{2s} \Delta_y, s \in \mathbb{N}

  • UをR^Nの境界付き開部分集合と置く
  •  W_G^{1,2} (U)をL^2(U)における実数関数で、 \partial_{x_i} u \in L^2(U) |x|^s \partial_{y_j} u \in L^2(U)を満たすものの集合
  • Scalar product
  • Norm
  • Grushin gradient
    • 普通の偏微分と、|x|^sを掛けたyでの偏微分を一列に並べる。
    • すると、ノルムは、普通のノルムとGrushin gradientのノルムの和と等価になる。
  • もし、 \bar{U} \cap \{x=0\} = \varnothing
  • 定理
    • Rellich-Kondrachov
    • UがR^Nの境界付き開部分集合とする。
    •  W_{G,0}^{1,2}(U)  L^2(U)にコンパクト埋め込みされるl。
  • 定理
    • ポアンカレ不等式
    • ある定数Cで以下を満たすものが存在。
      •  ||u||_{L^2(U)} \leq C || | \nabla_G u|||_{L^2(U)},u \in W_{G,0}^{1,2}(U)

 

 

Topology, Heegaard分解

トポロジー入門。勢いでまとめる。

100416.pdf (hokudai.ac.jp)

  • トポロジー幾何学の1分野
    • ものの繋がり具合を表す概念
    • 柔らかい幾何学
  • 伸ばしたり、縮めたり、曲げたりして重ねられるものは同じ
  • Note!:トポロジーというと、位相幾何学の意味と、空間上の構造としての位相の意味と、2種類あり得る。
    • 文脈依存的な使われ方。
  • 幾何学は図形を扱う。
    • 同じ図形である、という基準
    • 基準に応じた幾何学がある
  • トポロジーの場合、
  • 位相空間
    • 定義
      • Xを集合、OをXの部分集合の族
      • OがX上の位相であるとは、
        • Xも空集合もOの要素で
        • Oの有限個の要素の共通部分はOの要素で、
        • Oの要素の族の和集合もOの要素
      • Xの冪集合もXの位相の1つ
        • 離散位相という
      • 空集合とXからなる集合も、Xの集合の1つである。
        • 密着位相という。
    • 連続写像
      •  f: (X_1, O_1 ) \rightarrow (X_2, O_2 ) 連続写像であるとは、
        • 任意の U_2 \in O_2に対して、 f^{-1} (U_2) \in O_1
      • m(0)とm(1)が同相
  • ポアンカレ予想と基本群
    • ポアンカレ予想
      • Mを3次元閉多様体
        • s.t. 基本群は自明
      • ならば、Mは3次元球面と同相
    • 細かい単語
      • 多様体
        • 定義
          • Mはn次元多様体である
            • 各点pに対して、Mの部分開集合でpを包含するUと、R^nの開集合U’について,
            • 同相写像 \psi : U \rightarrow U^{'} が存在する。
        • 多様体
      •  P ( X; a,b) = \{continuous function p: I \rightarrow X |p(0) =a, p(1) =b\}
      • u0とu1がホモトープである
        • ut, ただしtは0以上1以下である、という連続な族が存在する。
      • 基本群
        •  \pi_1 (X; a) = P(X; a,a) / \simeq
      • 球面なら、どれも同じ。
      • トーラスなら、2パターンある。
        • どーなつの周りの円と、ドーナツの穴を通る円
      • 基本群は位相不変量
    • 基本群が自明とは、これが、球面のような時。つまり、どの2つの経路もホモトープである。
  • 3次元多様体とHeegaard分解
    • 3次元球面
      • 4次元空間R^4で、原点からの距離が1の点の集合
    • S^3は3次元ボールB^3を2つ用意して、境界のS^2で貼り合わせて出来る
    • S^3は、、トーラスによって、2つのソリッドトーラスに分けられる
  • Heegaard分解
    • 多様体を2つのハンドル体に分割すること。
  • 定理
    • 全ての向きつけ可能な閉3次元多様体は、Heegaard分解を持つ。

 

Helmholtz方程式

ヘルムホルツ方程式

ヘルムホルツ方程式 - Wikipedia

  • ヘルムホルツ方程式とは、
  • 例えば、
    •  波動方程式を解くとき
    • 時空間パターンを知る時に、
    • 時間と空間を、別々の関数に分離できると仮定すると、
    •  u(r, t) = A(r) T(t)という具合に
    • 変数分離できる。
    • そして、もとの波動方程式に代入して、
    • 2種類の微分方程式を得る。
    • その他の例では、電磁波、地震、音響などで登場するらしい。
      • いずれも、時空間的な構造が見られる。
  • さらに、ヘルムホルツ方程式を解くことを考えられる。
    • 一般解が変数分離によって求められる。
    • 3次元なら、球ベッセル関数と球面調和関数で、
    • 2次元なら、三角関数とベッセル関数で
    • 表すことが出来る。
  • 近軸における式
    • ヘルムホルツ方程式を少し改良すると、出てくる。
    • レーザーなどの、光の伝播の際に使えるみたいだ。
  • 要するに、空間の広がり方を扱う、ラプラシアンと何かの定数を足し合わせた式があったら、それの一般解を求められる。というわけか。

 

Balanced集合

Balanced集合

Balanced set - Wikipedia

  • 定義
    • Xを体K上でのベクトル空間とする
    • Sを集合、aをスカラー、Bを体の部分集合。
    •  aS = \{ as : s \in S \}
    •  BS = \{ bs : b \in B, s \in S \}
    •  B_r = \{ a \in \mathbb{K} : |a| <r \}
    •  B_{\leq r} = \{ a \in \mathbb{K} : |a|  \leq r \}
      • それぞれ、開球、閉球となっている。
    • Xの部分集合SがBalanced集合であるとは、以下のどれかを満たすこと
      •  \forall s \in S, \forall a, |a| \leq 1, as \in S 
        • これが一番重要
      • aのノルムが1以下である時、 aS \subset S or aS = Sが常に成り立つ
      •  B_{\leq 1}S \subset S
      •  B_{\leq 1}S = S
      • 他にもいろいろある。
  • 例えば、
    • ∅は、balanced集合
    • 実ベクトル空間の部分ベクトル空間は、Balanced集合
    • 複素ベクトル空間の部分ベクトル空間は、Balanced集合
    • ノルム付きベクトル空間での、開球、閉球は、Balanced集合
  • ここで、Balanced集合以外の言葉もまとめて見る。
  • Balanced hull
    • Xの部分集合SでのBalanced hullとは、Sを含むBalanced部分集合の、共通部分
    • 包含関係で最小の、Sを含むXのBalanced部分集合であることと、同値。
  • Balanced Core
    • Balanced hullの文での、「共通部分」を「和集合」に変えれば良い。
    • 包含関係で最大。

 

文章訂正について

I think everyone has experience that they did not understood, especially when they talk to foreigners.

Then, how can we solve that situation?

 

I found some nice website. It seems that there are some benefitial method to correct your expression.

「何が言いたいのかわからない」と言われた時の文章の正し方 | 人一倍時間がかかる人のためのすぐ書ける文章術 | ダイヤモンド・オンライン (diamond.jp)

I summarize that in order to memorize the method and acquire the skills.

 

Key 1: Do not stop your opinion, if your comment is abstract. You have to add some example to make you understood well.

For example: You should practice harder. For example, you should write more english sentences.

 

Key 2: When you add example, you should care about "What", "When", "How" and so on.

I think this kind of interrogative are useful to know concrete idea.

For me, "where" is similar to "when" because both interrogative just specify some conditions, and "who" is similar to "what" in terms of grammer.

Note! : These keys are also important to comment about some informations.

Note! : The position of Abstract sentence and that of Concrete sentence are reversible.

Ok, now I can write good sentences, which is easy to understand for listeners.

 

Sobolev埋め込み

Sobolev不等式

Sobolev inequality - Wikipedia

  •  W^{k,p}(\mathbb{R}^n)をn次元実数空間上での、全ての、最初のk階弱微分した関数が L^pにある、実数関数からなる、ソボレフ空間とする。
    • ここで、kは非負指数、pは1以上のある実数
  • Sobolev埋め込み定理
    • もし、kがlより大きく、pがnより小さく、、pより大きな数qについて、
    •  1/p - k/n = 1/q - l/n
    • が成り立つなら、
    •  W^{k,p} (\mathbb{R}) \subset W^{l,q} (\mathbb{R})
  • k=1の時、lが0で確定するから、qも確定する。
    • このとき、qをpのSobolev共役という言い方をする(Sobolev conjugate of p)
  • Hölder空間 C^{r,\alpha} (\mathbb{R}^n)への埋め込み。
    • もしnがpkより小さく、 r +\alpha = k - n/p, \alpha \in (0,1)なら、
    •  W^{k,p} (\mathbb{R}) \subset C^{r,\alpha} (\mathbb{R}^n)
  • ここでの等しく無さとは、埋め込みによる包含関係による大小のことだったのか???

もう少し勉強が必要だ。まだ体力が足りていない。

戦略的撤退とする。

『トポロジー最適化』をめくる

I am very sleepy now, but I am still up.

 

昼下がりの一番眠い時期である。

こちらの文献をめくる。

トポロジー最適化 (計算力学レクチャーコース) | 西脇 眞二, 泉井 一浩, 菊池 昇, 一般社団法人日本計算工学会 |本 | 通販 | Amazon

 

折角なので、目標を立てて、めくりたい。

1.トポロジー最適化が何かがわかる

という感じでめくる。ただし、このまとめる計画はそれだが、結果として出来た記事には、その順序は反映されないだろう。なんせ、ただのメモなので。

 

  • 構造最適化の分類
    • 構造最適化とは、事前に定められた設計・境界条件から望む性能を最大化できるような構造・形状を決めること
      • 寸法最適化、形状最適化、トポロジー最適化がある
      • 柔軟性(自由度)はこの順番に上がる
    • 全応力設計の考え方
      • 「各構造部材の断面での主応力の最大値が許容値に達成するように設計する」
      •  d^{k+1}= d^{k} + H^{-1} (\bar{\sigma} - \sigma^{k})という形で式を更新して、許容値 \bar{\sigma}に達したらOK。
      • 感度解析とも組み合わせられる。
      • 連続体力学との組み合わせにしたい場合は以降の手法。
    • 寸法最適化、形状最適化
      • 力法
        • 感度解析して、形状勾配を求める。
        • その分の仮想荷重を足し
        • 形状を更新する
  • トポロジー最適化の基礎
  • トポロジー最適化の実装方法
    • 固定設計領域と境界条件の設定
      • 求めたい設計領域を設定する。
      • 固定条件、境界条件を設定する。
      • これらは途中で変更しない。(最初から最後まで一緒)
    • 最適化のためのパラメータと設計変数の設定
      • 体積密度や体積の上限、下限に関する値を設定する。
    • 固定設計領域の有限要素離散化と数値解析
      • 固定設計領域を有限要素により分割する
      • 変位ベクトルを求める。
        • その際、剛性マトリクスと節点荷重ベクトルを算出する。
        • 積分による)
    • 目的関数と体積の計算
      • 目的関数である全ポテンシャルエネルギーを求め、固定設計領域での体積を求める
    • 収束条件の判定
    • 目的関数と体積の設計感度の計算
      • 目的関数が自己随伴になっているため、
        • (平衡方程式と随伴方程式が同一になる)
      • 非常に感度計算が楽(嬉しいね)
    • 設計変数の更新
      • ヘッセ行列(二階微分)を求めることは、厳しい。
      • 目的関数の1次微分だけを使うのが主流。
  • トポロジー最適化の諸問題と対策方法
  • トポロジー最適化の適用例
  • レベルセット法による構造最適化の方法

 

一部分めくっただけだが、お気持ちは察することが出来た。というレベルだ。

また読んでみたい。