遅延あり集団モデルの線形安定性と、周期解
線形安定性について
解を探すために、
解を平衡解とそれとのずれに分解する。
そして、ずれの方に関して、指数関数で表してみる。
すると、その指数部分の係数λが正ならば、不安定となり、指数関数的に離れていく。
λに関する式を得た後で、
ピカールの定理とかを使っていけば、無数にλが得られることが言える。
ピカールの定理は、複素解析の話題で、とても面白い主張だが、今はそういうものがあるとして、通り過ぎる。
そして、調べていくと、遅延時間によって、安定解から、周期解への分岐が起こることがわかる。
そして、分岐解の周期を一次推定するために、周期に微小な摂動を与え、
固有値についても、微小な摂動を与える。
そして、それらの摂動の間の関係性を表す方程式を作れば、
うまく表せそうだ。
線形遅延微分方程式の安定性を確認する時に、
リヤプノフ関数を構成して、安定であるかを確認することもある。
これは、パラメータ空間でどこが安定かを考える時に使える。
０、ある点で安定
１、その点での値が０で、それ以外の点で正
もしそんな関数があったら、その点は大域的漸近安定で、閉軌道解は存在しない。
遅延がある場合も、基本的には、ない場合と似たような枠組みでやっていけばよいのだろう。