応用数学の大枠

頼まれ仕事で、これらの2冊（上、下）の本を読む必要がある。

なので、ざっと目を通してみる。

初めに要約を見てみる。

1. 有限次元ベクトル空間
   1. 行列のスペクトル、すなわち固有値についての考え方を学ぶ。
   2. 行列の変換方法についても同様。
2. 関数空間
   1. 有限次元ベクトル空間から無限次元ベクトル空間へ拡張することを考える。
   2. その際に、有限次元ベクトル空間での概念を、無限次元用に拡張する。
   3. 具体的には、Hilbert空間や、種々の級数や多項式などを扱う
3. 積分方程式
   1. 積分方程式と行列の間の関係。
   2. 関数解析とコンパクト作用素が出てくるらしい。
4. 微分作用素
   1. スペクトル分解を用いて微分方程式を解く。
   2. 超関数やGreen関数が絡む。
5. 変分法
   1. 微分方程式の変分原理を用いた導出。
   2. 微分作用素が摂動を受けた時の固有値の変化について。
6. 複素関数論
   1. 解析的関数についての理論。
   2. 流体解析
   3. 7章以降の橋渡し。
7. 変換とスペクトル論
   1. 連続スペクトルを持つ作用素
   2. Fourier変換、Mellin変換、Hankel変換、z変換、Shrodinger作用素の散乱変換
8. 偏微分方程式
   1. 線形偏微分方程式と線形差分方程式の解法
9. 逆散乱変換
   1. Korteweg-de Vries方程式と戸田格子方程式
10. 漸近展開
    1. 漸近解析法
11. 正則摂動論
    1. 非線形固有値問題における、線形作用素のスペクトル
12. 特異摂動論
    1. ３つの特異摂動問題

なんとなくやる内容のリストは掴んだが、もう少し解像度を上げて見てみる。

1. 有限次元ベクトル空間
   1. 線形ベクトル空間
   2. 行列のスペクトル理論
   3. 固有値の幾何学的意義
   4. Fredholmの定理
   5. 最小二乗解と擬逆行列
   6. 固有値・固有ベクトルの応用
2. 関数空間
   1. 完備ベクトル空間
   2. Hilbert空間における近似
3. 積分方程式
   1. 導入
   2. Hilbert空間における有界線形作用素
   3. コンパクト作用素
   4. コンパクト作用素のスペクトル論
   5. レゾルベント核と擬レゾルベント核
   6. 近似解
   7. 特異積分方程式
4. 微分作用素
   1. 超関数とデルタ関数
   2. Green関数
   3. 微分作用素
   4. 最小二乗解
   5. 固有関数展開
5. 変分法
   1. Euler Lagrange方程式
   2. Hamiltonの原理
   3. 近似法
   4. 固有値問題
6. 複素関数論
   1. 複素関数
   2. 複素変数関数の微積分
   3. 流体運動と等角写像
   4. 閉路積分
   5. 特殊関数
7. 変換とスペクトル論
   1. 作用素のスペクトル
   2. Fourier変換
   3. 関連する積分変換
   4. Z変換
   5. 散乱理論
8. 偏微分方程式
   1. Poisson方程式
   2. 波動方程式
   3. 熱方程式
   4. 微分・差分方程式
9. 逆散乱変換
   1. 逆散乱
   2. 等スペクトル流
   3. Korteweg-de Vries方程式
   4. 戸田格子
10. 漸近展開
    1. 定義と基本的性質
    2. 部分積分法
    3. Laplace法
    4. 鞍点法
    5. 停留位相法
11. 正則摂動論
    1. 陰関数定理
    2. 固有値の摂動
    3. 非線形固有値問題
    4. 振動と周期解
    5. Hopf分岐
12. 特異摂動論
    1. 初期値問題１
    2. 初期値問題２
    3. 境界値問題

これから見ていくとする。