ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

非線形数学

こちらの本を爆速で読む(流す)。

  1.  非線形数学へ向けた序説
    1. 線形理論の概観
      1. 線形、ベクトル空間、線型写像、関数空間
      2. ノルム、距離を定義して、いそうを定める、Banach空間
      3. Lebesgue可測関数でp乗可積分なもの、
      4. Hilbert空間 内積によってノルム定義されるBanach空間
      5. 準同型写像、定義域、値域、核、余核、階数、退化次数、余次元、Sobolev空間、トレース
      6. 固有ベクトル固有値、スペクトル分解、比例関係、随伴行列
      7. ゾルベント、スペクトル、複素Banach空間における線形作用素
      8. 自己共役作用素
      9. グラフ、グラフ・ノルム、閉作用素
      10. gelfand表現、Cayley変換
      11. Schwartz超関数(超関数微分)、Clarke微分(劣微分
        1. 無理やり微分する
      12. 襞(ひだ)と分岐
  2. 基本となる方法
    1. トポロジーホモトピー不変量、写像度(向き付きの交点を用いた和)、不動点定理、Brouwerの不動点定理。、Schauderの不動点定理。
    2. 逐次代入法、絶対収束級数、Lipschitz連続作用素、縮小作用素、単調作用素、極大単調作用素
      1. 実Hilbert空間Hからそれ自身への多価写像Aが単調作用素である。
      2. 極大というのは、Aをグラフとして、含む作用素Bがあったら、それはA=Bとなる、ということ。こちら
    3. Lax方程式
    4. Hamilton系、葉層化、可積分系
  3. スケーリングとくりこみ群
    1. 相転移と臨海現象、Ginzburg-Landauの自由エネルギー
    2. 汎関数積分(無限次元の積分
    3. スケーリング解析
    4. 繰り込み
  4. 分岐・アトラクター・カオス
    1. 典型的な非線形方程式
      1. Lorenz方程式
      2. 反応拡散方程式
      3. Navier-Stokes方程式
    2. 平衡点の安定性
      1. 線形系の場合
      2. 線形化方程式
        1. Hurwitzの安定判別法
      3. 安定多様体・不安定多様体
        1. 安定多様体・不安定多様体。局所安定多様体、局所不安定多様体
        2. 時間無限に飛ばすと平衡点に着くか、-無限に飛ばすと平衡点につくか。
        3. 安定多様体定理。
          1. 安定な空間と不安定な空間に分解できる。
          2. それぞれの空間の次元は、固有値の数に依存する。
    3. 分岐理論
      1. 1パラメータ分岐
          1. 前後で平衡点の数が変わるなら、固有値0を持つということがわかる。
        1. サドル・ノード分岐
        2. trans critical 分岐
        3. pitchfork 分岐
        4. hopf 分岐
      2. 中心多様体定理
    4. アトラクター
      1. 作用素半群、軌道、解軌道、ω極限集合、α極限集合
      2. アトラクター
        1. 集合Aが半群S(t)に関するアトラクターである
        2. 極大(大域)アトラクター
        3. 極大アトラクターの存在定理
    5. カオス
      1. Li-Yorkeの定理
      2. ハウスドルフ次元、フラクタル次元、リヤプノフ次元
        1. 前2つは球で敷き詰める時の半径の大きさ、あるいは個数について考えた。後ろ1つは、初期値に関するの、微分した行列の固有値を考えている。
  5. 非線形波動・ソリトン

かなり理解が怪しい部分が、体感半分くらいだが、それなりにスッと入ってくる部分もあったので、そこは成長を感じられる。

また帰ってくるかもしれない。それまでは置いておく。