「線形安定性の基本」

線形安定性解析について調べものをしているので、それについて書く。そして、それを自分に説明する。

始めましょうか。

こちら。

  • 動機付け
    • まず、 \frac{dx}{dt} = ax+bを考える
    • 指数関数の形で表せる。
      • これは、右辺が数×x+数の形だからだ。
      • そのおかげで指数関数という良さげな形になっている。
    • 指数関数が何故良さげか、どう良さげか
      • 無限遠まで飛ばすと、発散するか、ある値に収束するかということが係数からわかる
      • さらに、オイラーの公式みたいに、複素数まで係数を拡張できるので、振動するかどうかも係数からわかる
  • 動機付けまとめ
    • 常微分方程式がある
      • そのふるまいを指数関数の形で書いてみたい
      • なぜなら、指数関数は、発散、収束、振動、という情報が簡単に取り出せる形だから。
    • なので、非線形な方程式でも高次元のものでも、無理やり線形に近似して、指数関数の形の解を得ようとしている。
  • 問題
  • 解法（線形安定性解析的）
    • 平衡点を求める。
    • その周りでの挙動に注目したい
    • その点の近傍でTaylor展開をする
      • 一次の部分にかかる行列をJacobian行列という
    • ヤコビアン行列の固有値、固有ベクトルを求める。
      • その固有値の実部が全て負なら、安定
      • 1つでも実部が正なら不安定 
      • 0の場合は、高次の部分について議論が必要。
  • 応用先
    • Prey-Predatorモデルや、Membrane-Cytosol分子移動モデル、SIRモデルなど、いろいろ出来る。
  • それはさておき、いろいろ気になることはある。
    • 1．ほかの展開方法でするとは。
    • 2．2次以上まで含めるとは
    • 3．関数ODEであることを忘れるとは
    • 4．時間が十分経つ、という同一視をしているけれど、それは良いのか？
      • 医学と関わりそう。病気には、急性と慢性という分け方があって、慢性というのはじわじわ来る感じだから、こっちの線形安定性解析が相性良さそう
    • 5．行列を使っているが、テンソルにしたらどうなるか
    • 6．ほかの体を使いたい
  • 最後に、ヤコビ行列の性質について復習する
  • こちら。（変数変換とヤコビ行列）
  • 動機付け
    • 「一般化した」関数を考え、その微分というものを考えたい
      • f : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{n}
      • m次元ユークリッド空間から、n次元ユークリッド空間への写像
      • 例
        • 生物が3次元空間にいるとして、3次元空間から3次元空間への写像を考える
          • 時間が経つこと、病気になることなどなど
  • ヤコビアン行列
  • Chain Rule（連鎖律）
    • J_p(f ◦g) = J_{g(p)} f \cdot J_p g
  • 逆行列
    • 気持ち
      • 関数を考えたら、逆関数を考えよう
      • 行列を考えたら、逆行列を考えよう
      • ○○を考えたら、逆○○を考えよう
    • 逆関数定理
      • 動機付け
        • f^{’} (x) \neq 0なら、 f^{-1}(x)が存在する
        • 多変数なら？
      • 定理
        • f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^nを点pで微分可能写像とする
        • J_pfが正則行列ならば、
        •   f^{-1}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^nが、b= f(p)近傍で、定義され、
          • (J_bf^{-1}) = (J_pf)^{-1}が成立する
          • 肝は、ヤコビとってから逆転させても、逆写像のヤコビとるのも同じということ

バイバイ！