「スタンダード工学系の複素解析」

量子力学で、波動関数を使う。波動関数は複素関数全体の構成要素である。よって、複素関数を学ぶことは、量子論に繋がってくる。

こちらの本をまとめる。

1．複素関数

複素数。複素平面。極形式。
複素平面。ド・モアブルの定理。n乗根。複素平面図形。
複素数の演算。図形的な意味（ベクトルとか、回転）
複素関数。写像。1次変換。
点の近傍、集合の内点や境界や領域や範囲。連結な開集合を領域という。領域に境界点を全て足すと範囲という。
多価関数。よくあるのは1価関数（入力に対して１つ吐き出す）。沢山吐き出すのは、データ的にうれしい。人を関数とすると、便や言葉や呼気は多価な出力。
複素数の写像 $1/z$ は反転写像。 $z^2$ は等角写像。1次変換写像は閉じている。
指数関数。三角関数。
正味オイラーの公式。 $e^z = e^x (\cos{y}+i\sin{y})$
双曲線関数。対数関数。べき関数。
無限多価関数 $log(z)$
全体的に超入門。

2．微分・積分

微分と正則性。コーシー・リーマンの方程式。正則性の判定。
極限値。極限値とその点での値は等しいとき、連続という。微分係数が一意に定まるなら、微分可能という。できないなら特異点という。微分係数を導関数。
（複素関数での）正則は、関数 $f(z)$ が $z_0$ で定義され、かつ $z_0$ の近傍内の各点で微分可能なとき。領域全体での各点で微分可能なら領域で正則。
関数が正則であるための必要十分条件。コーシー・リーマンの方程式。 $\\ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
関数の正則性を調べる方法は、コーシー・リーマンの方程式以外に、 $W(z, \bar{z})$ と表した時、 $\frac{\partial W(z, \bar{z})}{\partial \bar{z}} = 0$ 　変形しただけ。
微分公式。調和関数。複素ポテンシャル。
逆関数の公式。こちらの記事は良い。傾きの積は１なのでわかる。 $\{f(z)^{-1}\}^{'}$ $= \frac{1}{ f (f(z))^{'}}$
ド・ロピタルの公式。 $\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f^{'}(z_0)}{g^{'}(z_0)}$
ラプラスの方程式を満足する関数を調和関数という。複素関数の実部虚部が調和関数で、コーシー・リーマンの方程式を満足するとき、虚部を実部の共役調和関数という。定常状態の熱伝導方程式はラプラスの方程式に従うので、複素ポテンシャルと相性が良い。熱伝導なら等温線と熱流線、静電界なら等電位線と電気力線、流体なら等ポテンシャル線と流線、重力場なら重力ポテンシャル線と力線。2Dだからか！
線積分。積分公式。積分路。
正味積分。 $\int_C (z-z_0)^m dz = 2 \pi i$ が成立するのは、 $m =-1$ の時。ほかは　0　！
コーシーの積分定理。積分路の変更。多重連結領域の扱い。
f(z)が単連結領域で正則ならば、D内の単一閉曲線Cに対して、コーシーの積分定理 $\int_C f(z)dz = 0$
積分路は変更できる。それを利用して、 $\int_Cf(z)dz = \int_{C_1}f(z)dz + \cdots +\int_{C_k}f(z)dz$
コーシーの積分公式。正則関数の導関数。モレラの定理。リュービルの定理。
f(z)が単連結領域Dで正則なら、z0を囲む単一閉曲線Cに対して、コーシーの積分定理 $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$
それの導関数版。グルサの公式。 $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$
付随して、モレラの定理。関数が単連結領域で連続で、任意の閉曲線で積分して0なら正則。
関数が正則でかつ有界なら、関数は定数。

3．展開・留数・応用

数列と級数。冪級数。収束半径。
複素数列の話。テーラー展開のお膳立て。収束半径について、ダランベールの公式（分母で極限に飛ばすやつ）や、コーシー・アダマールの公式（N乗根のNを無限大に飛ばすやつ）がある。以前の微分方程式の記事でまとめてある。
テーラー展開。正則関数のべき級数表示。べき級数の性質。
ローラン展開や留数へのお膳立て。 $f(z) = \Sigma_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k$ 。べき級数は収束円内で正則である。なぜなら、項別積分可能なので、 $k= -1$ 以外なら0が成立するので、任意の閉曲線Cで $\int_C f(z) dz = 0$ が成立し、モレラの定理より、 $f(z)$ が正則となる。
ローラン展開。特異点。留数の求め方。
$f(z) = \Sigma_{-\infty}^\infty a_k (z-z_0)^k$ 。ただし、 $a_k = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(s)}{(s-z_0)^{k+1}}ds$
点z0では正則ではないが、半径r以内の円でなら正則となるようなrが存在する場合、孤立特異点という。孤立特異点は除去可能な特異点と、真性特異点に分かれる。端的に言うと、ローラン展開はマイナス乗があるが、それが有限の数なら除去可能な特異点となる。-m乗の項まであるとき、m位の極という。
以前の議論から-1乗以外は積分して0となるので、留数b1は、 $b_1 = Res(f, z_0) = \frac{1}{2 \pi i}\int_C f(z) dz$ となる。他の有用な式は、 $Res(f, z_0) = 1/(m-1)! ×$ $lim_{z \rightarrow z_0}$ $(\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z))$ や、 $f(z) = \frac{h(z)}{g(z)}, \quad g(z_0)= 0, \quad g^{'}(z_0) \neqq 0$ なら、 $Res(f, z_0) = \frac{h(z_0)}{g^{'}(z_0)}$
留数定理。三角関数を含む実定積分。有理関数の定積分。フーリエ変換型の定積分。
留数定理 $\int_C f(z) dz = 2 \pi i \Sigma_{k=1}^m Res(f, z_k)$ 。フーリエ変換でも留数定理の関数が変わるだけで、本質は変わらない。積分の仕方（経路）を工夫すれば（大概の場合は）収束値を求められる。
短形積分路。主値積分。分岐点とリーマン面。
積分の仕方（半円、円、細長い長方形、点をまたいだ半円（主値積分））。主値積分をPをつけて表すと、 $P\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = lim_{r\rightarrow 0} (\int_{-R}^{a-r}f(x)dx + \int_{a+r}^{R}f(x)dx)$ となる。
リーマン面。ログとかの多価関数では、偏角を2πまわしても、もとに戻らないことがある。その点を関数の分岐点という。複素解析でのリーマン面とは、連結な複素一次元の複素多様体である。
こちらの文書がある。コンパクト化された $w = z^{\frac{1}{2}}$ のリーマン面は球面と同相。ええ、という感じだが、複素数平面は球面から北極除いたものと同相なので、気持ちはわかる。
さらに発展して、リーマン・フルヴィッツの定理がある。 $w^n = \prod (z-a_k)^{m_k}$ ただし、 $GCM(n, m_k) = 1$ を満たす時、コンパクト化されたリーマン面は種数gの曲面になる。 $2g-2 = -2n + p(n-1)$ （mkの総和とnの最大公約数が1でない時） $2g-2 = -2n + (p+1)(n-1)$ （mkの総和とnの最大公約数が1である時）
代数曲線などとも絡んで来て、数学！という感じだが、それはまた今度。

バイバイ！