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「スタンダード工学系の複素解析」

量子力学で、波動関数を使う。波動関数複素関数全体の構成要素である。よって、複素関数を学ぶことは、量子論に繋がってくる。

こちらのをまとめる。

 

1.複素関数

  • 複素数複素平面極形式
  • 複素平面。ド・モアブルの定理。n乗根。複素平面図形。
  • 複素数の演算。図形的な意味(ベクトルとか、回転)
  • 複素関数写像。1次変換。
  • 点の近傍、集合の内点や境界や領域や範囲。連結な開集合を領域という。領域に境界点を全て足すと範囲という。
  • 多価関数。よくあるのは1価関数(入力に対して1つ吐き出す)。沢山吐き出すのは、データ的にうれしい。人を関数とすると、便や言葉や呼気は多価な出力。
  • 複素数写像 1/zは反転写像 z^2は等角写像。1次変換写像は閉じている。
  • 指数関数。三角関数
  • 正味オイラーの公式 e^z = e^x (\cos{y}+i\sin{y})
  • 双曲線関数。対数関数。べき関数。
  • 無限多価関数 log(z)
  • 全体的に超入門。

2.微分積分

  • 微分と正則性。コーシー・リーマンの方程式。正則性の判定。
  • 極限値極限値とその点での値は等しいとき、連続という。微分係数が一意に定まるなら、微分可能という。できないなら特異点という。微分係数導関数
  • 複素関数での)正則は、関数 f(z) z_0で定義され、かつ z_0の近傍内の各点で微分可能なとき。領域全体での各点で微分可能なら領域で正則。
  • 関数が正則であるための必要十分条件。コーシー・リーマンの方程式。 \\ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}   
  • 関数の正則性を調べる方法は、コーシー・リーマンの方程式以外に、 W(z, \bar{z})と表した時、 \frac{\partial W(z, \bar{z})}{\partial \bar{z}} = 0  変形しただけ。
  • 微分公式。調和関数。複素ポテンシャル。
  • 逆関数の公式。こちらの記事は良い。傾きの積は1なのでわかる。 \{f(z)^{-1}\}^{'} = \frac{1}{ f (f(z))^{'}}
  • ド・ロピタルの公式。 \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f^{'}(z_0)}{g^{'}(z_0)}
  • ラプラスの方程式を満足する関数を調和関数という。複素関数の実部虚部が調和関数で、コーシー・リーマンの方程式を満足するとき、虚部を実部の共役調和関数という。定常状態の熱伝導方程式はラプラスの方程式に従うので、複素ポテンシャルと相性が良い。熱伝導なら等温線と熱流線、静電界なら等電位線と電気力線、流体なら等ポテンシャル線と流線、重力場なら重力ポテンシャル線と力線。2Dだからか!
  • 積分積分公式。積分路。
  • 正味積分 \int_C (z-z_0)^m dz = 2 \pi iが成立するのは、 m =-1の時。ほかは 0 !
  • コーシーの積分定理。積分路の変更。多重連結領域の扱い。
  • f(z)が単連結領域で正則ならば、D内の単一閉曲線Cに対して、コーシーの積分定理 \int_C f(z)dz = 0
  • 積分路は変更できる。それを利用して、 \int_Cf(z)dz = \int_{C_1}f(z)dz + \cdots +\int_{C_k}f(z)dz
  • コーシーの積分公式。正則関数の導関数。モレラの定理。リュービルの定理。
  • f(z)が単連結領域Dで正則なら、z0を囲む単一閉曲線Cに対して、コーシーの積分定理 f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz
  • それの導関数版。グルサの公式。 f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz
  • 付随して、モレラの定理。関数が単連結領域で連続で、任意の閉曲線で積分して0なら正則
  • 関数が正則でかつ有界なら、関数は定数。

3.展開・留数・応用

  • 数列と級数。冪級数。収束半径。
  • 複素数列の話。テーラー展開のお膳立て。収束半径について、ダランベールの公式(分母で極限に飛ばすやつ)や、コーシー・アダマールの公式(N乗根のNを無限大に飛ばすやつ)がある。以前の微分方程式の記事でまとめてある。
  • テーラー展開。正則関数のべき級数表示。べき級数の性質。
  • ローラン展開や留数へのお膳立て。 f(z) = \Sigma_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k。べき級数は収束円内で正則である。なぜなら、項別積分可能なので、 k= -1以外なら0が成立するので、任意の閉曲線Cで \int_C f(z) dz = 0が成立し、モレラの定理より、 f(z)が正則となる。
  • ローラン展開特異点。留数の求め方。
  •  f(z) =  \Sigma_{-\infty}^\infty a_k (z-z_0)^k。ただし、 a_k = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(s)}{(s-z_0)^{k+1}}ds
  • 点z0では正則ではないが、半径r以内の円でなら正則となるようなrが存在する場合、孤立特異点という。孤立特異点は除去可能な特異点と、真性特異点に分かれる。端的に言うと、ローラン展開はマイナス乗があるが、それが有限の数なら除去可能な特異点となる。-m乗の項まであるとき、m位の極という。
  • 以前の議論から-1乗以外は積分して0となるので、留数b1は、 b_1 = Res(f, z_0) = \frac{1}{2 \pi i}\int_C f(z) dzとなる。他の有用な式は、 Res(f, z_0) = 1/(m-1)! × lim_{z \rightarrow z_0}  (\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z))や、 f(z) = \frac{h(z)}{g(z)}, \quad g(z_0)= 0, \quad g^{'}(z_0) \neqq 0なら、 Res(f, z_0) = \frac{h(z_0)}{g^{'}(z_0)}
  • 留数定理。三角関数を含む実定積分。有理関数の定積分フーリエ変換型の定積分
  • 留数定理 \int_C f(z) dz = 2 \pi i \Sigma_{k=1}^m Res(f, z_k)フーリエ変換でも留数定理の関数が変わるだけで、本質は変わらない。積分の仕方(経路)を工夫すれば(大概の場合は)収束値を求められる。 
  • 短形積分路。主値積分。分岐点とリーマン面
  • 積分の仕方(半円、円、細長い長方形、点をまたいだ半円(主値積分))。主値積分をPをつけて表すと、 P\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = lim_{r\rightarrow 0} (\int_{-R}^{a-r}f(x)dx +  \int_{a+r}^{R}f(x)dx)となる。
  • リーマン面。ログとかの多価関数では、偏角を2πまわしても、もとに戻らないことがある。その点を関数の分岐点という。複素解析でのリーマン面とは、連結な複素一次元の複素多様体である。
  • こちらの文書がある。コンパクト化された w = z^{\frac{1}{2}}リーマン面は球面と同相。ええ、という感じだが、複素数平面は球面から北極除いたものと同相なので、気持ちはわかる。
  • さらに発展して、リーマン・フルヴィッツの定理がある。 w^n = \prod (z-a_k)^{m_k}ただし、 GCM(n, m_k) = 1を満たす時、コンパクト化されたリーマン面は種数gの曲面になる。 2g-2 = -2n + p(n-1)(mkの総和とnの最大公約数が1でない時) 2g-2 = -2n + (p+1)(n-1)(mkの総和とnの最大公約数が1である時)
  • 代数曲線などとも絡んで来て、数学!という感じだが、それはまた今度。

 

バイバイ!