D加群と計算数学 - 物理医学数学の日記

こちらの本をまとめる。

始めましょうか

微分方程式を線形代数で考える
- 気持ち
  - 線形微分作用素を、関数空間から関数空間への線形写像と考える
    - 線形写像の核と像を考える問題
      - 核、像は、それぞれ、写したら0になる写す前のやつの集合と、写したやつの集合
  - 関数空間は無限次元なので、線形写像が無限次元×無限次元の行列
  - しかし、それを有限次元で計算したい、という話
- 線形写像と連立一次方程式ーガウスの消去法
  - 体
    - 加減乗除の四則演算が出来る（0で割る以外）
    - 結合法則、交換法則、分配法則がある
  - 標数0
    - 乗法の単位元をいくつ足しても0にならない
  - 線形写像
    - 連立一次方程式
      - $A x = b, x \in K^n, b \in K^m$
    - ガウスの消去法
      - 拡大係数行列
        
        Aにbを横に足したもの
      - 行基本変形
        
        2つの行を入れ換える
        
        ある行に0でないスカラーを掛ける
        
        ある行に他の行のスカラー倍を加える
    - 階段行列
      - 各行ベクトルが、0ベクトルでない時、主成分（一番左の非零の成分）が1
      - 行ベクトルのうち、0ベクトルでないものの主添え字（一番左の非零の成分の位置）が全て相異なる
      - 各々の行ベクトルの主成分を含む列ベクトルが1つの成分が1で、他が0
      - 行ベクトルのうち、零ベクトルでない物は、主添え字が小さいものから順に並んでいる
      - 0行ベクトルはそうでない行ベクトルより下の行にある
    - 階段行列を作ったら、最後の列ベクトルを除いた行列をA'、最後の列ベクトルをb'として、もう一回立式したらOK
    - ランクは主成分の数
      - Ker(T) = 4- rank(A)
      - Im(T) = rank(A)
      - 拾える情報（像）と拾わない情報（核）の和は、もとの情報
- 商ベクトル空間
  - もとの空間が4次元、核が1次元、なら、もと/核は、3次元の空間
  - 線形写像で、基底とか考える時に次元は大事
- 微分作用素
  - 微分作用素を線形作用素として考える
  - $x^i$ を1つの基底として考える
- 微分方程式の多項式解
  - 微分作用素の像と核を考える。
  - 重み
    - $x^i \partial^j$ なら、 $i-j$
    - 重みベクトル(1,-1)
- 微分方程式の巾級数解
  - 巾級数
- 微分方程式の有理解
  - 有理関数体
    - $\partial (\frac{f}{g} ) = \frac{\partial (f) g - f\partial (g) }{g^2}$
  - 有理関数体から有理関数体への線形写像
  - ユークリッドの互除法
環と加群の言葉で？
- 微分作用素環
  - 微分作用素では、和と積が出来る
    - 積は非可換なので、非可換環
- D加群
  - 微分作用素の集合Dは、環
  - そして、関数空間は群
  - 左D加群
- D加群と積分と多項式解
- D加群の制限と巾級数解
- 有理関数とD加群
微分作用素環とグレブナ－基底
- 微分作用素環とD加群
- 微分作用素環の包合基底
- 微分作用素環のグレブナ－基底
- グレブナ－基底の計算アルゴリズム
- 斉次化によるグレブナ－基底の計算
多項式の巾とb関数
- 多項式の巾とD加群
- b関数
- 局所b関数と準素イデアル分解
D加群の制限と積分
- D加群の制限とその計算アルゴリズム
- 局所コホモロジーへの応用
- D加群の積分とその計算アルゴリズム
数式処理システム

グレブナー基底、コホモロジーの勉強（体力）が足りない。なので、わかったらまた戻ってこよう。

バイバイ！