ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

微分可能多様体

医学は非線形現象の塊のようなものだ。

そういう見方があることに気づいたので、非線形現象について学んでいる。

その際に微分可能多様体、というものに出会った。その言葉(とその背後にあるもの)を理解したい。

 

こちらの文章をまとめる。

始めましょうか。

  • 導入
    • 曲線、曲面、
    • 微分多様体
    • 微分多様体の定義の概略
      • UがR^mの開集合の時、F:U→R^nの微分可能性が定義されている
      • 位相空間Mに対して、写像f:M→Rのp∊Mでの微分は、pの近傍だけで決まる
      • 任意の点の近傍がR^mの開集合と同じなら、微分が定義できる
      • 位相空間がR^mの開集合をいくつか貼り合わせたもの、というのが、それに相当する。
        • 貼り合わせ方が気になる
        • 「どのように」するか
  • 曲線
    • IがRの開集合
    • 写像c:I→R^2がなめらかな曲線の助変数表示
      • cがC^∞級
      • 全てのt∊Iに対して、c'(t)≠(0,0)
        • 特異点がない感じ、、
        • 速度ベクトルが大きさ0にならない
      • この時、なめらかな曲線という
    • 曲線の陽関数表示
      • グラフ
      • 陽関数表示
        • 片方の変数を含んでいる形
      • C^∞写像f:I→Rのグラフはなめらかな曲線
      • 平面内のなめらかな曲線は、局所的にはグラフとして表される
        • 逆っぽい
    • 曲線の陰関数表示
      • UがR^2の開集合
      • F:U→Rを関数とする
      •  F(x,y)=0がなめらかな曲線の陰関数表示
        • FがC^∞級
        • F(x,y)=0→(JF)(x,y)≠(0,0)
          • JFはヤコビ行列
            • 変数の偏微分した関数を成分にもつ行列
      • 円なら、x^2+y^2=1
      • 陽関数表示を陰関数表示に出来る。
      • 局所的に陰関数表示を陽関数表示に変換する
        • 陰関数表示された曲線は、局所的にはグラフで表される。
      • 陰関数定理
        • 陰関数表示が陽関数表示で表せるための十分条件を与える。
    • 曲線の接線
      • 写像cが単射である領域
      • 接ベクトル
        • C^∞写像γ:(-ε,ε)→M(曲線)のt=0での速度ベクトルγ’(0)を曲線Mのγ(0)における接ベクトルという。
      • 接線
        • 曲線上の点とそれに接ベクトル分足した点の集合
      • ヤコビ行列が、曲線pにおける法線ベクトル
  • 曲面
    • 曲面の助変数表示
      • DをR^2の開集合
      • 写像p:D→R^3がなめらかな曲面の助変数表示
        • pはC^∞級
        • 任意の組(u,v)∊Dについて、rank(Jp)=2
      • 気持ち
        • pは2つの実数の組から、3つの実数の組に写す
        • その写像がC^∞級で、且つ、pのu,vの導関数が、1次独立である
          • ヤコビ行列のランクが2と偏微分して代入して出来たベクトル組が一次独立である、ということは同値
      • ちなみに、定義を確認
      • 行列のランク
        • 線形写像作用素のランクは、その像の次元として定義される。
      • 一次独立
        • ベクトル空間の元の列が以下の条件を満たす時、そのベクトルの列を、線形従属であるという。
          • 非ゼロのスカラーがk個(列の元の数)あり、それが、 \Sigma a_i v_i = 0を満たすこと。ここでの0とは、零ベクトルである。
        • 関数の線形独立性
          •  e^t, e^{2t}
          • この調子でいろいろ拡張できそう
    • 曲面の陽関数表示
    • 曲面の陰関数表示
    • 曲面の接平面
  • 多様体
    • 多様体の定義
      • 位相空間がハルスドルフである
        • 任意の二点が開集合で分離出来る
      • ハウスドルフ空間に対して、集合族をn次元の局所座標系
        • {Uα}がMの開被覆
          • 全ての集合の和集合がそれに一致すること
        • 全てのα(添え字)について、写像φα:Uα→φα(Uα)が同相写像
        • 二つの集合の共通部分が空でないとき、それぞれの写像の移し替え(これまた合成した、写像)は、C^∞級写像
          • 貼り合わせがうまく行くための写像
          • 座標変換
      • ハウスドルフ空間がn次元多様体である
        • 局所座標系が存在する
    • 陽関数表示と多様体
      • 一般のグラフ
        •  graph(f) = \{ x = (x_i) \in D ×\mathbb{R}^n | f(x_1,\cdots ,x_m) = (x_{m+1}, \cdots , x_{m+n})\}
      • 肝は、m個の変数をとる関数のグラフがある。
      • 関数がC^∞級写像なら、グラフはm次元多様体
        • m個の変数で管理される局所座標系を持つ
    • 陰関数表示と多様体
      • 一般の次元の陰関数表示が、多様体になること。
      • UをR^mの開集合とし、その上で定義されたn次元ユークリッド空間上に写す、C^∞級写像を用意する
      • ランクrank(JF)p = kなら、m-k次元多様体
      • ランクは、写す前の次元のダブりを間引くため
        • 実際はもっと低次元にあるもの、ということ
        • 球は3次元にあるが、所々は2次元なので、ダブりが1次元ある
        • 特殊線型群SL2は、3次元多様体
          • 行列式の分、1次元
          • その式のヤコビ行列のランクに相当
          • この貯水で、リー群が多様体という流れが解る
    • 射影空間
      • 実射影空間がハウスドルフ空間で、局所座標系が定義できる
        • 1つの変数に着目し、それが0でない、という条件の部分集合を考える。
        • 1つの変数で他を全て割る
        • 割った後、その変数を除く
        • というような写像を考える
          • これは局所座標
        • よって局所座標系が存在する
        • ハウスドルフ空間多様体であるとは、局所座標系が存在するということ。
    • 微分同相
    • さまざまな多様体
    • 接空間
      • 接ベクトルの全体の集合を接空間と定義する
      • span{ (\frac{\partial}{\partial x_i})_p}=TpM
        • n次元多様体なら、これがn次元ベクトル空間
    • 写像微分

定義をしっかり抑えることが大事だ。

そしてそれから生物を考えることを忘れずにやりたい。

バイバイ!