ただのメモ

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「自然科学研究のための整数論入門」

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  • はじめに
    • 数の概念は、数学の出発点
    • 数の現象を物理現象となぞらえる。
  • 整数論と物理学
  • 整除と素因数分解
    • 整数に関する初等例
      • 素数分解と一意性
        • 整数を素数分解すると、ただ一通りの結果になる。
      • 互いに素
        • という関係
          • (a,b) 
          • 2つのもの、を記録する
    • ユークリッドの互除法
      • 2つの数
      • から、割っては、あまりを入れ替えるという操作をする。
      • 入れ替える数を記録すると、減少数列が出来る。
        • 長さが制限有り。
        • 最後のものが最大公約数。
    • 連分数
      • 有理数の連分数
        • ユークリッドの互除法
        • 操作 
          • 割り算
          • 割る数で全体を割る。
          • 余りを逆数にして、また割り算をする。
        • 性質
          • 有限項で終わる
      • 近似分数
        •  \delta_s = \frac{q_s P_{s-1} + P_{s-2} }{q_s Q_{s-1} + Q_{s-2} } = \frac{P_s}{Q_s}
  • 剰余類とオイラーの関数
    • 合同式
      • 同じあまりなら、同じだとみなす。
      • 2で割ったあまりが1なら奇数、否なら偶数
        • 1本鎖DNA
        • 2本鎖DNA
      • 既約類
        • mと素な数のみからなる類を既約類という。
    • 類の考え方とオイラーの関数
      • Eulerの関数
        • 定義
          • 1~nまでの数でnと素な数の個数
        • 性質
          • 互いに素な数なら、乗法関数となる。
          • 掛け算して計算しても、計算してものを掛けても同じ
    • 乗法性の証明
      • 既約類
        •  mと互いに素である数のみ含む類
          • グループ
      • m、nと共通因数を持たない数たち
        • mx+ny もmnと共通因数をもたない。
  • 整数論的関数の演算子手法
    • メビウスの関数
      • Eulerの関数以外にも整数論的関数がある
      • 定義
        • 自然数nを素因数分解したとき、
          • 場合分け3つ
            • 1.n=1 なら、1
            • 2.nが素数の平方で割り切れるなら、0
            • 3.nが相異なる素数のk個の積なら、(-1)^k
        • 2は-1
        • 4は0
        • 10は1
    • 畳み込み積
      •  (f\otimes g)(n) = \Sigma_{d|n} f(d) g(n/d)
    • 性質
      • 可換律
      • 結合律
    • 逆元
      •  e(1) = 1, e(n) = 0 (n \geq 2)
      • 常に1のε関数
      • 常にnのν関数
      • 下2つは乗法的
      • 乗法的整数論的関数全体は畳み込み積に関して閉じている
        • 4つの規則
          • 単位元あり、
          • 逆元あり、
          • 結合律、
          • 可換律あり。
        • よって、群(部分群)をなす
      • εの逆元はメビウス関数
      • Dedekind の反転公式
        •  g(n) = \Sigma_{d|n} f(d) の時、 f(n) = \Sigma_{d|n} \mu(d)g(n/d)
        • 書きかえると、 \epsilon \otimes f = g の時、 f = \mu \otimes g
      • 約数のEuler関数の和はそれに一致する
        • 準解定理
          • 「分解」
          • 乗法的関数であることを利用した
    • ディクリレ級数への応用
      • 整数論的関数は、自然数に対して、値を返すものだった。
        • これは、つまり、自然数と値のペアがいくつもあった。
      • 級数展開を考える
        • テーラー展開は、0次の項を除けば、各項の次数と係数のペアがいくつもある。
      • 級数の係数としての整数論的関数
      •  \Sigma_{n=1}f(n)/n^s
        • εはζ関数
        •  F(s)G(s) = \Sigma_N [f \times g](N)/N^s
          • 畳み込みが使える
          • 2つの関数を同時に処理することで、別の性質を持つ新しい関数として、処理できる、という気持ち
      • 黒体輻射の分配関数
        • ここでも、畳み込みが使える
    • オイラー関数の整数論的等式の証明
      • 約数のオイラー関数の和がもとと一致する。
  • 原始根とべき剰余
  • 平方剰余と相互法則
    •  (\frac{a}{p})  = (-1)^{Inda}
    •  (\frac{a}{p})  \equiv a^{\frac{p-1}{2}}
    •  (\frac{p}{q}) (\frac{q}{p})  =(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}}
    •  (\frac{-1}{p})  = (-1)^{\frac{p-1}{2}}
    •  (\frac{2}{p})  = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}
    • 数論幾何と絡んでくるらしい
  • 平方剰余と相互法則の証明
  • Gaussの和
  • Gaussの和の計算
  • 代数的整数論序論
    • 有理素数が「二次体において、菌数分解される規則を、平方上よの相互法則が記述する」
      • 有理素数
        • 複素整数
          • 複素数で、実部と虚部が両方整数
        • 単数
          • 全ての整数の約数である数
          • ガウス整数なら、±1、±i
        • それ自身と単数以外で割り切れない複素整数を、有理素数という
    • ガウス整数
      • 性質
        • 和と積で閉じる
        • 割り切ること
        • ノルム
      • 単数
      • 同伴数
        • 単数を掛けたら一緒
    • 2次体の一般理論
      • 2次体
        • 平方数でない有理整数の平方根
          • 有理整数
            • ふつうの整数
        •  x+y\sqrt{m}
        • 共役、トレース、ノルム
        • 二次体の数
      • 代数的数
      • 定理
        • 二次体における整数はつぎのよう
        • ただし、mは平方因数を有しないとする 
          • 4で割って余り2,3なら、整数は、 x+ y \sqrt{m}
          • 4で割って余り1なら、整数は、 \frac{x+y \sqrt{m}}{2}
    • イデアル
      • 素因数分解の話
      • 定義
        • 整数の集合O
          • その部分集合R
        • Rの要素±Rの要素=Rの要素
        • Rの要素×Oの要素=Rの要素
      • イデアルの標準基底
        • 無理数部分の係数に関して、最小の正の整数を考えている
    • イデアルの積
    • 二次体の素イデアル素数の分解

バイバイ!