"The Virasoro algebra and its representations in physics"を読む。

こちらのレポートをざっとまとめる（まとめたい）。

始めましょうか。

Introduction
- Virasoro algebra
  - $[L_m, L_n] = (m-n) L_{m+n} + \frac{\hat{c}}{12} m(m^2 -1) \delta_{m+n,0}, \\ [L_m, \hat{c}] = 0$
  - 無限次元リー代数
    - 物理
  - 共形的対称性
  - 時空が1、2次元で、空間が周期的な場合
    - 円
  - 紐理論
    - 2次元とか、円筒とか
- Virasoro代数の応用
  - Witt代数の拡張
  - 中心拡大？後述
The Virasoro algebra as a central extension
- 中心拡大としてのVirasoro代数
- Virasoro代数は、群のリー代数のunique central extension
  - ここでの群は、円の微分同相写像からなる
    - 微分同相写像とは、2つの多様体がある時、片方からもう片方への写像で、滑らかであり、その逆関数も滑らかである、というもの。こちら。
  - lie代数の中心拡大
    - その前に、群の拡大
      - １→N→G→Q→１
        
        短完全列
        
        NがGの正規部分群で、
        
        G/NがQと同型
      - 群の中心とは、群の部分群で、アーベル群となるもの。
      - 群の中心は正規部分群
        
        共役変換したものが、その部分群に所属すること
        
        解凍操作と冷凍操作と野菜を足し引きすること、を含む集合
        
        野菜を足し引きすることは閉じている
        
        解凍と冷凍は逆の関係
        
        逆元
        
        解凍、野菜、冷凍だと、冷凍した野菜のまま
        
        冷凍、野菜、解凍だと、解凍した野菜のまま
        
        結局g n g^-1が野菜足し引きの群にあるので、正規部分群
      - 群の中心拡大とは、
        
        短完全列であり、
        
        NがGの中心に含まれるもの
- 円上の滑らかなベクトル場の代数は、Lie(Diff(S1))の元をフーリエ展開を用いて書き表せる。
  - その時、展開した項1つ1つが基底ベクトルと係数のかかったものだと考えられる
    - バラバラにして、バラバラにしたものを分析し、その要素間の関係を考える
  - すると、Witt代数が現れる
    - $[L_m, L_n] = (m-n) L_{m+n}$
  - Witt代数の中心拡大をするには、中心基底要素の集合を加え、関係性を加える
    - リーブラケットの性質から、結局、唯一の中心要素だけで表せるようになる。これでVirasoro代数完成。
    - 中心拡大って、結局、群の中心の効果を消す感じだから、中心の要素を係数かけて足したのは消すため？説
Representations of the Virasoro algebra
- Conditions for representations in physics
  - Virasoro代数の表現論に興味がある。
    - 表現論とは、抽象的な代数的構造をベクトル空間の線形変換として表す
    - 群の要素、演算は、それぞれ、行列と、その和・積、と言う具合
  - Highest weight表現
    - - ある固有ベクトルをとって、それ以外の作用素との積（広義）が常に0になるように取れる
    - - cは複素数で、 $\hat{c}$ は、作用素
      - ωはベクトル
    - 作用素が、消滅作用素、生成作用素として働く
    - 状態ベクトルは、良い感じに分解出来る
    - ユニタリ表現
      - 状態の間の内積を考えることが出来る。
      - し、正定値になる。
- Restrictions on h and c
  - hと、cがUnitary Highest Weight表現をただ1つに定める。
  - c,hが与えられた時、Unitary Highest Weight表現をただ1つに定めるには、
    - $c\geq 1 and h\geq 0$ か、
    - $c = 1 - 6/(m^2+5m+6)$ か、
    - $h = h_{p,q} (c)$
    - が「必要」
  - c,hに対する条件がある。
- Existence of allowed representations
  - Unitaryである、という十分条件か、という話が残っている
  - Affine Kac-Moody代数に対して、Virasoro代数が関連する、ということを利用する
    - 単純リー代数に関連するAffine Kac-Moody代数
      - 代数である式を満たす
      - ここまで書いたがカッツ・ムーディー代数がわからない
Summary

ここからは、Kac Moody 代数についてお絵かきする。こちらとこちらを参考にする。

リー代数とは、ある体上のベクトル空間で、括弧積なる二項演算が与えられる
- その際に、双線形性、交代性、ヤコビ恒等式を満たしている
- ベクトル空間だから、ベクトルの足し引きは定義されている。その上での、追加での括弧積
リー部分代数（閉じている）
イデアル
- 部分代数の強いやつ
準同型
- イデアルは準同型の核
- 商代数
  - $g/I$ を作る
リー代数の部分集合で、全ての元に対して、括弧積が0なら、（可換なら）、中心という。
- 群の中心と同じ考え方
直和
- 2つまとめて考える
性質
- 包絡代数
  - 乗法をもつ任意の結合代数について、
    - 二項演算で掛け算足し算が出来て、スカラー倍ができる
  - 括弧積を作れる
- 表現
  - リー代数のベクトル空間上の表現
    - リー代数の準同型
      - $\pi \rightarrow gl(V)$
- 3次元ベクトル空間で、外積を定めると、リー代数になる。
  - ヤコビ恒等式を満たす。

import sympy as sp
sp.var('a1:4 b1:4 c1:4')
A = sp.Matrix([[a1],[a2],[a3]])
B = sp.Matrix([[b1],[b2],[b3]])
C = sp.Matrix([[c1],[c2],[c3]])

def Dot(A,B):
  return sp.expand*1

def Crs(A,B):
  return sp.expand(sp.Matrix([[A[1,0]*B[2,0]-A[2,0]*B[1,0]],
                              [A[2,0]*B[0,0]-A[0,0]*B[2,0]],
                              [A[0,0]*B[1,0]-A[1,0]*B[0,0]]]))

Crs(A,Crs(B,C))+ Crs(B,Crs(C,A))+ Crs(C,Crs(A,B))==0*A    

Bye Bye!

*1:A.transpose()*B)[0,0])

def Nor(A):

return sp.sqrt(Dot(A