ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

"The Virasoro algebra and its representations in physics"を読む。

こちらのレポートをざっとまとめる(まとめたい)。

始めましょうか。

  • Introduction
    • Virasoro algebra
      •  [L_m, L_n] = (m-n) L_{m+n} + \frac{\hat{c}}{12} m(m^2 -1) \delta_{m+n,0}, \\ [L_m, \hat{c}] = 0
      • 無限次元リー代数
        • 物理
      • 共形的対称性
      • 時空が1、2次元で、空間が周期的な場合
      • 紐理論
        • 2次元とか、円筒とか
    • Virasoro代数の応用
      • Witt代数の拡張 
      • 中心拡大?後述
  • The Virasoro algebra as a central extension
    • 中心拡大としてのVirasoro代数
    • Virasoro代数は、群のリー代数のunique central extension 
      • ここでの群は、円の微分同相写像からなる
      • lie代数の中心拡大
        • その前に、群の拡大
          • 1→N→G→Q→1
          • 群の中心とは、群の部分群で、アーベル群となるもの。
          • 群の中心は正規部分群
            • 共役変換したものが、その部分群に所属すること
            • 解凍操作と冷凍操作と野菜を足し引きすること、を含む集合
              • 野菜を足し引きすることは閉じている
              • 解凍と冷凍は逆の関係
                • 逆元
              • 解凍、野菜、冷凍だと、冷凍した野菜のまま
              • 冷凍、野菜、解凍だと、解凍した野菜のまま
              • 結局g n g^-1が野菜足し引きの群にあるので、正規部分群
          • 群の中心拡大とは、
            • 短完全列であり、
            • NがGの中心に含まれるもの
    • 円上の滑らかなベクトル場の代数は、Lie(Diff(S1))の元をフーリエ展開を用いて書き表せる。
      • その時、展開した項1つ1つが基底ベクトルと係数のかかったものだと考えられる
        • バラバラにして、バラバラにしたものを分析し、その要素間の関係を考える
      • すると、Witt代数が現れる
        •  [L_m, L_n] = (m-n) L_{m+n}
      • Witt代数の中心拡大をするには、中心基底要素の集合を加え、関係性を加える
        • リーブラケットの性質から、結局、唯一の中心要素だけで表せるようになる。これでVirasoro代数完成。
        • 中心拡大って、結局、群の中心の効果を消す感じだから、中心の要素を係数かけて足したのは消すため?説
  • Representations of the Virasoro algebra
    • Conditions for representations in physics
      • Virasoro代数の表現論に興味がある。
        • 表現論とは、抽象的な代数的構造をベクトル空間の線形変換として表す
        • 群の要素、演算は、それぞれ、行列と、その和・積、と言う具合
      • Highest weight表現
    • Restrictions on h and c
      • hと、cがUnitary Highest Weight表現をただ1つに定める。
      • c,hが与えられた時、Unitary Highest Weight表現をただ1つに定めるには、
        •  c\geq 1 and h\geq 0か、
        •  c = 1 - 6/(m^2+5m+6)か、
        •  h = h_{p,q} (c)
        • が「必要」
      • c,hに対する条件がある。
    • Existence of allowed representations
      • Unitaryである、という十分条件か、という話が残っている
      • Affine Kac-Moody代数に対して、Virasoro代数が関連する、ということを利用する
        • 単純リー代数に関連するAffine Kac-Moody代数
          • 代数である式を満たす
          • ここまで書いたがカッツ・ムーディー代数がわからない
  • Summary

ここからは、Kac Moody 代数についてお絵かきする。こちらこちらを参考にする。

  • リー代数とは、ある体上のベクトル空間で、括弧積なる二項演算が与えられる
    • その際に、双線形性、交代性、ヤコビ恒等式を満たしている
    • ベクトル空間だから、ベクトルの足し引きは定義されている。その上での、追加での括弧積
  • リー部分代数(閉じている)
  • イデアル
    • 部分代数の強いやつ
  • 準同型
  • リー代数の部分集合で、全ての元に対して、括弧積が0なら、(可換なら)、中心という。
    • 群の中心と同じ考え方
  • 直和
    • 2つまとめて考える
  • 性質
    • 包絡代数
      • 乗法をもつ任意の結合代数について、
        • 二項演算で掛け算足し算が出来て、スカラー倍ができる
      • 括弧積を作れる
    • 表現
    • 3次元ベクトル空間で、外積を定めると、リー代数になる。
import sympy as sp
sp.var('a1:4 b1:4 c1:4')
A = sp.Matrix([[a1],[a2],[a3]])
B = sp.Matrix([[b1],[b2],[b3]])
C = sp.Matrix([[c1],[c2],[c3]])

def Dot(A,B):
  return sp.expand*1

def Crs(A,B):
  return sp.expand(sp.Matrix([[A[1,0]*B[2,0]-A[2,0]*B[1,0]],
                              [A[2,0]*B[0,0]-A[0,0]*B[2,0]],
                              [A[0,0]*B[1,0]-A[1,0]*B[0,0]]]))

Crs(A,Crs(B,C))+ Crs(B,Crs(C,A))+ Crs(C,Crs(A,B))==0*A    

 

Bye Bye!

*1:A.transpose()*B)[0,0])

def Nor(A):
  return sp.sqrt(Dot(A