数理モデル - 医学は数学したい

こちらの本を自分の言葉で書いてみる。

指数的現象
1. まず、マルサスの法則を考える
  1. 人口に比例した数、増えるタイプ
2. さっきは定数にしたのを、時間依存的関数とする。
  1. これを解くには、変数分離形が必要
  2. さらに、初期条件をつける
    1. この時に、リプシッツ条件を満たすなら、初期値問題の解が一意になる。
3. 人口の増え方は上限あるのでは、と考えてみる。
  1. ロジスティック方程式
4. 他の方程式
  1. 同次形
    1. 分数を別の文字で置いてやれば、同じ作業
  2. 和でひっくるめるやつ
  3. 定数変化法
    1. 先に、定数だと思って式を解いて、（この場合、変数分離）
    2. 後で、時間依存的な関数と思い出して、式に代入してみて、
    3. その関数の具体的な形を決めていく。
    4. 米　イメージは先に形を漠然と決めて、後で合わせる感じ
5. また、他の解法
  1. ベルヌーイ型
    1. 変数の何乗というのが扱いにくいから、それを別の文字と置けば、ふつうの定数変化法と変数分離
  2. リカッチ型
    1. 似たような話し
  3. 完全微分形
    1. 未知関数の微分が、分母分子に関数が載ったものになってて
    2. それで、ある微分可能関数が存在して、偏導関数がその分母、分子に載って関数に一致する
    3. 米　この時、その微分可能関数は、元の分母、分子の関数を使った線積分で表せる。
      1. 米　だから、完全微分形は嬉しい
  4. 積分因子
    1. 完全微分形でないものでも、ある関数をかけたら、完全微分形になる場合ある。
    2. その欠けていた関数を積分因子という。
機械・電気振動
1. 振動現象をモデルしたい。
  1. 例えば、ふりこ
  2. 例えば、空気抵抗のある状態でのふりこ
  3. この辺りは、高校物理の延長線上
2. 空気抵抗ありのバネの振動を扱うと、振動パターンが見られる。
  1. これは、2階斉次線形定係数常微分方程式である。
    1. 基本解の線形重ね合わせになってる。
    2. いわば線型独立
    3. 米　線型独立性に関して、ロンスキアン（という行列）から判定できる。
  2. 任意解が一般解と特殊解の和で表される話し
    1. オイラーの公式やら、定数変化法を使っていく
    2. 米　ただし、この場合、２個定数だと思って、後で、両方とも実は関数でした、ということで、合わせにいく
高階線形常微分方程式の解法
1. 面白そうな例
  1. 棒の横振動
    1. 縦振動は波動方程式なりで、見ることはあれど。こちら。
    2. ４乗になっているのが面白い
    3. とりあえず、変数分離形であると仮定してみて、時間と、空間の、項をバラバラにすると、いい感じの式が２つ取れる。
2. 高階定係数線形常微分方程式
  1. 代数学の基本定理のおかげで、固有方程式が一次式の積で表せる。
  2. 何やら色々やってるが、
    1. 固有値が一緒の時に、どうやら、固有値一個ごとに、変数（ここなら時間）の冪乗かけた固有関数の、それの０からnまで総和とったやつができる。
    2. その塊を、全部の固有値に対して作って、足し合わせたら終わり。
      1. 米　減衰振動の時に、臨界減衰の場合に、指数関数に時間かけてるやん、ということに出くわすのは、こういう背景がある。
3. m階非斉次線形系の定数変化法
  1. ロンスキアンを使って、でかい行列式使った積分方程式とけば、できるらしい
  2. 階数変化法
    1. 一つ解を見つけて、線型独立解を仮定して、求める。
    2. 三角関数を見つけたら、相方（サインとコサイン）を見つけて、オイラーの公式で解きましょうみたいなのが流行り
  3. 連立系にする
    1. 速度と位置の式があれば、
    2. 別の文字として扱って、片方に紐付けさせるみたいな。
      1. 米　例えば、バネの振動なら、速度と位置でプロットしたら、ぐるぐる回るやつみたいな。
連立線形常微分方程式の解法
1. 線形空間
  1. ノルム
    1. スカラーは外せるやつ、正定値性、三角不等式
  2. 距離関数
    1. 可換、同じなら０、三角不等式
  3. ここから、ノルムが色々
    1. L1とか、ユークリッドとか、Maxとか、関数空間に対して、一様ノルムみたいなもの（sup）とるやつ
      1. 行列にもノルムが定義されて
    2. リプシッツ条件
      1. ２個要素取ってきて、両方に関数ぶち込んで差を取っても、ものの差の定数倍で抑え込めるやつね
      2. 有界閉集合で、C1級関数がリプシッツ条件を満たす話し
        
        積分型の平均値の定理を使う。ある容積がある集合の上で積分したら、それは、上限と下限を用いて抑え込めるはなし。
        
        こちら。
  4. 良さげな定理・不等式
    1. Picardの定理
      1. 連続でリプシッツやったら、初期値問題の一意解があるみたいな感じ
    2. Gronwallの不等式
      1. 非負連続関数２つと定数一つで、積分不等式を作る
2. 定係数の連立微分方程式
  1. 固有値解法とワイエルシュトラスのM判定法
    1. 関数列を取ってきて、その中の最大値を値で保持する。
    2. 関数ごとにあるその値を、和で取ったら有界でした
    3. その時、関数列の級数（和）は一様収束する
      1. 米　一様収束と、各点収束の違いはこちら。
    4. 指数行列を使いましょうねという話し
  2. 高階線形系に帰着
  3. 定数係数変化法の行列版
  4. 積分方程式
    1. ピカールの定理から、微分方程式の初期値問題の解が一意に存在する。局所解があるから、積分すれば、方程式ができる。
  5. 自励系の定数変化法
    1. 時間を含まないタイプ
    2. ヤコビ行列、ヘッセ行列を用意していく
    3. それで、定数変化法を用いて解く
常微分方程式の定性解析
1. 初期値問題、初期条件、一様安定性、一様吸引性、一様漸近安定、漸近安定
2. 一様融解性、一様融解、一様終局有界性、終局有界、大域的一様漸近安定性、大域的一様吸引的、不安定性
3. Massera関数
  1. リアプノフ関数
  2. 全導関数、大域的漸近安定性
  3. 有界性定理、境界値問題、シャウダーの不動点定理
  4. リエナール方程式
    1. 不安定性定理
4. リアプノフ関数
数理生物学のモデリング１
1. 連続型ロトカ・ヴォルテラ方程式
  1. ぐるぐる
2. 離散型
  1. 平衡点が３つあって、両方小さいなら、ゼロになってしまう
3. 連続型感染症SIRモデル
  1. 基本再生産数とかのあれ
4. 離散型感染症SIRモデル
  1. 投薬とか扱いたいとき、離散時間ごとにモデルするらしい
    1. $x(n+1) = x(n)(1-b-c) + y(n)(1-e^{-a_1 x(n)}) // y(n+1)= (1-y(n) ) b_1 + y(n)e^{-a_1 x(n)}$
5. 離散型SIモデル
  1. 回復がない場合は、Rを除く。
差分方程式の解法
差分方程式の定性解析
数理生物学のモデリング２
1. 2種個体群モデリング
  1. 宿主と、捕食寄生虫
2. 修正ニコルソン・ベイリーモデル
  1. 遭遇割合はポアソン分布
  2. 遭遇に関して、1回のみ有効
  3. Brouwerの不動定理
    1. 線形空間Rm上の凸の有界閉集合B上の連続写像F:B→Bは、少なくとも１つの不動点、すなわちx0＝Ｆ(x0)をもつ
  4. Mayモデル
    1. 負の二項分布に置き換えて考える
3. LPAモデル
  1. カニバリズム係数×成虫の項を指数に乗せて、生まれる個体の数を間引いている。
4. DLPGモデル
5. SGSMモデル
2階線形偏微分方程式の型
1. 2階線形偏微分方程式の型
  1. 双曲型、放物型、楕円型
拡散現象
1. 熱方程式と条件
  1. 混合問題
  2. ディリクレ条件、ノイマン条件
2. 一般の拡散方程式
  1. 拡散方程式、勾配ベクトル、ラプラシアン
3. 熱方程式問題の解法
  1. 変数分離法
    1. コンパクトサポート
    2. フーリエ逆変換
4. 熱方程式問題の解法
5. 有限区間０＜ｘ＜Ｌの混合問題の一意性
振動現象
1. 針金の振動方程式
  1. 運動方程式
2. 振動方程式の解法
  1. フーリエの反転公式
3. 解の一意性
  1. エネルギー積分
定常状態現象
1. 楕円型方程式
  1. ラプラスの方程式、調和関数
  2. ポテンシャル
  3. ベクトルポテンシャル
2. 楕円型方程式の解法
  1. 変数分離法を使っていく。
  2. 三角関数ないしは、双曲線関数の和とか
  3. ポアソン積分
  4. 球対称解
3. 解の一意性
  1. 最大値原理
    1. 連結な有界領域D上で調和関数uは定数でないとする。このとき、Dの内部には、max(u)もmin(u)もない