Strum Liouville演算子回歴 - Math Unleash medicine.

バネと質点の連成振動を考える。

その振動モードと、行列の固有値・固有ベクトルの組みが関わり合う。

質点の数を極限に飛ばすと、連続化できる。（波動方程式が導出される）

連続化したら、演算子の固有値問題に帰着される。

振り返る。

固有ベクトルは直交している。

すると、対称行列を考えることができる。

固有関数同士も直交している。

対称的な演算子を考えられそう？

ここで内積を考える

対称な行列なら $＜Au , v＞ = ＜u, Av＞$ が成立する。

演算子についても、上の内積の順序の関係性を保存していたら対称と言える。

その例として、Strum -Liouville演算子を話題に取り上げる。

$A = \frac{d}{dx} (p(x) \frac{d}{dx} ) - r(x)$

直交関係を満たすような、それぞれの状況に合わせた固有関数で、級数展開することが大事。

この直交性を利用して、それぞれの固有関数ごとにバラバラにすることができて便利。

詳しくはこちら

こちらも続編。

元々の解に弱い非線形項がかかっている場合に、解がちょっと変わる。

それを級数展開の形で代入して解いていく。

$\dot{x} = f(x) + \epsilon g(x)$

について、解 $x = x_0(t) + \epsilon x_1(t) + \epsilon^2 x_2(t) + \cdots$

※何を変数にして、摂動展開するかで、正則摂動か特異摂動かが変わってくることに注意。

異なる時間スケールで解析することで、永年項を避けようという手法もある。

２つの時間スケール $T_0 = t$ ,

$T_1 = \epsilon t$ を用意する。

そして、時間微分を $\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial T_0} + \epsilon \frac{\partial}{\partial T_1}$

で展開して、係数を合わせて行く。

その他にも、領域摂動法（形状がわずかにズレた時に近似解を構成するための手法）や、繰り込み群（特異摂動問題に対する統一的なアプローチ）、など面白い分野である。

領域摂動法についてはこちら。