最適輸送回歴 - Math Unleash medicine.

最適輸送基礎

こちらの資料を活用させて頂いた。

ものをどう輸送するか、そしてその輸送の仕方のしんどさ（コスト）

を考える道具としての、最適輸送。

例：細胞内タンパク質輸送。交通網物販輸送。

ここで、輸送コストを、類似度とすると、対象・点・構造物同士の内積が類似度を定義できれば、コストを考えることが可能。

例：物理的距離は、位置の類似度。心理的距離は、気持ちの類似度？

最適輸送で扱うものは、

・遠近感

・対象の移動あるいは対応づけ

・移動・対応の遠近感の定量化とその最適化

概念から数理へ

入力は、出荷量ベクトルと、入荷量ベクトルと、輸送コスト行列である。

無限次元に拡張したければ、1変数関数2つと、2変数関数1つである。

ソルバがある。

重みの決め方

・同じ重み

・ものによって重要度が違う

輸送コストの決め方

・多様体（超球面など）上の輸送に制限する

定式化

$U(a, b) = \{ P \in \mathbb{R}^{n \times m}_{+} : P \mathbb{1}_m = a \text{ and } P^T \mathbb{1}_n = b \}$

L_C (a, b) = \text{min}_{P \in U(a,b)} \Sigma C_{i,j} P_{i, j}]

荷物を過不足なく輸送する経路で、最もコストの小さいものを選ぶ。

最適輸送に関連する用語

Wasserstein距離

確率分布間の距離

$W(a, b, c) = (\text{min}_{P \in U(a, b)} \int \int c(x, y)^p P(x, y) dxdy)^{\frac{1}{p}}$

最適輸送応用

最適輸送光ストの自動微分

輸送コストを計算して、その結果に応じて輸送プランを変える、ということを深層学習のように勾配を利用してできたら嬉しい、という話。

エントロピー 正則化付き最適輸送

$OT_{\epsilon} (a, b, c) = \text{min}_{P \in U(a, b)} \Sigma_{ij}P_{ij}C_{ij} - \epsilon H(P)$

これの最適化手法として、Sinkhornアルゴリズムなるものがある。

IPOT

最適輸送問題の拡張

Gromov -Wasserstein距離

出荷物同士、入荷物同士の距離はわかるが、

出荷物と入荷物の距離がわからない場合。

近い出荷物は、輸送後は近い入荷物となってほしい、というmotivation

こういう時に使える手法が、Gromov Wasserstein距離

[tex: GW*1^2 = \text{min}_{P \in U(a, b)} \Sigma_{i,j, i^{'}, j^{'}}|D_{i, i^{'}} - D^{'}_{j, j^{'}}|^2P_{i, j} P_{i^{'}, j^{'}}]

不均衡最適輸送

optimal partial transport

一部の荷物だけを動かす場合

有名な考え方

1: ダミーの出荷場所と入荷場所を作る

2: 過不足の分だけ罰則項を設ける

3: 領域の外側にブラックホールを作る。

構造を考慮した最適輸送

コストの部分に保っていて欲しい構造のための項を追加する。

木構造を保っていて欲しいなら、Wasserstein距離とGromov Wasserstein距離との重み付け和とする。（Fused Gromov Wasserstein距離）

最適輸送感想

感想として最適かわからないが、とても面白い分野だ。

*1:a, D), (b, D^{'}

最適輸送 基礎