非線形性・振動子回歴 - Math Unleash medicine.

・FitzHugh南雲モデル

・振動するパターン

位相の定義

・振動子の状態ベクトルを0から2πの値をとる $\theta$ とする。

・リミットサイクルの外にも位相が定義されるようにしたい。

・位相の時間発展の式として、 $\dot{\theta}(t) = \text{grad}_X \theta(X)\cdot \dot{X}(t)$

・位相の定義の仕方として、リミットサイクルに戻らせた時の位相を平行移動させて対応をとる

位相応答関数・位相感受関数

・摂動 $I$ によってどれだけ位相が変化するかの関数

$g(\theta, I) = \text{grad}_X \theta (X) \cdot I$

・この摂動の部分にかかっている関数を、位相感受関数という。つまり、位相場での勾配。

位相縮約

・弱い摂動を持った力学系 $\dot{X}(t) = F(X) + \epsilon p(X, t)$

・リミットサイクル上の位相についての方程式に近似する。これが位相方程式。位相で全て表現しよう、ということなので、位相に情報を縮約する、という理屈。

$\dot{\theta}(t) = \omega + \epsilon Z(\theta ) \cdot p( \theta, t)$

・周期外力に対する同期

$\dot{\phi} (t) = \epsilon (\Delta + \Gamma (\phi ))$

この第二項が、位相結合関数といって、位相感受関数と外力の周期に渡った時間積分。

・共通ノイズに駆動される振動子

結合の無い振動子たちに、共通の弱い白色ノイズを加えると、同期するようになる、ということ。蛍の同期とかこれか？

平均Lyapunov指数 $\Lambda = 〈{\frac{d \text{ln} |\phi(t) |}{dt}} 〉$

・N個のリミットサイクルの振動子が相互作用している系を考える。

$\dot{X}_j (t) = F_j (X_j) + \epsilon \Sigma_k G_{jk}(X_j, X_k)$

・位相縮約。リミットサイクルとそれの位相場を定義して、リミットサイクル上の状態で近似することで、

$\dot{\theta}_j (t) = \omega + \epsilon Z (\theta_j) \cdot (f_j( \theta_j) + \Sigma_k G_{jk} (\theta_j , \theta_k ) )$

・平均化近似する。位相結合関数を用いて、振動子からの影響を周期に渡って時間積分した項から影響を受けるとする。

・大域結合位相振動子系

蔵本モデルなど。熱力学的極限で、粒子数を無限大に飛ばすことで、解析的に解くらしい。