漸近展開、asymptotic expansion

  • asymptotic expansionについて
  • 自分が考えている関数を、別の簡単な形に置き換える（近似する）時に、使える。
  • f(x)が、実数の領域で定義された関数として、
  • 定義域内の点における関数の挙動にいくつか制約を設ける
    • \phi_{n+1} (x) = o(\phi_n (x) )
  • この関数列と対応する実数列を使って、それらを掛け合わせてできたものを、漸近級数として扱う。
    • 漸近関数列をもっちいて、漸近級数を得ることを、漸近展開という。
  • 漸近級数が存在しても、唯一とは限らない。
  • 種々の漸近展開

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  • 漸近展開
    • 関数 f(x)に対して、 x = aの近傍で定義された関数列 \{ p_0 (x) , p_1 (x) , \cdots \} があり、
    • f(x) = \Sigma_{k=0}^{n} a_k p_k (x) + R_n (x)
    • かつ、 p_{k+1}(x) = o(p_k (x) )
    • かつ、 R_n(x) = o(p_n (x))
  • ランダウ記号の制約があることで、最初の方の項によって、近似的に表す事ができる。
  • 扱いやすいように、関数列を持ってくる事が大事になる。