convergence of alternating series

交代級数が収束する。

Dirichletの定理（詳しくはこちら。）

実数の数列 \{ \lambda_n \}が単調で、かつ、 \lambda_n \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) で、 \{ a_n \}が、その部分和列が有界であるとする。

このとき、 \Sigma_{n=1}^{\infty} \lambda_n a_nが収束する。

 

この証明については、適度に部分和分をとり、単調性を利用して不等式評価することで、絶対収束することを示す。

 

任意のBanach空間で、絶対収束する級数は収束する。

 

そして、ここで単調な０に収束する数列を考えて、

そして、部分和列が誘拐な数列として、1,−1の繰り返す数列を考える。

これすなわち、交代級数の収束性の議論に他ならない。

 

Weierstrass M test

集合A上の実数値または複素数値の関数列 \{ f_n \}に対し、ある数列 \{ M_n \}が存在して、 |f_n(x)|  \leq M_n (x \in A)かつ、 \Sigma_{n = 1}^{\infty} M_n ＜\inftyならば、 \Sigma_{n=1}^{\infty} f_n(x)は、A上絶対一様収束する。

 

このWeierstrass M testを使えば、交代級数がxに依存する関数だったとしても、適当な数列によって上から抑えることで、その集合上、つまり定義域上で、絶対一様収束することを証明できる。

 

weierstrass M testについてはこちら。