Gagliardo Nirenberg inequality - 医学は数学したい

定理

1以上のある実数qで、無限まで飛ばせる

jとmは非負の整数で、jはmより小さい

そして、rは1以上のある実数で、無限まで飛ばせる。

1以上の実数pと、 $\theta \in [0, 1 ]$ で、

$\frac{1}{p} = \frac{j}{n} + \theta ( \frac{1}{r} - \frac{m}{n} ) + \frac{1 - \theta}{q}$ , $\frac{j}{m} \leq \theta \leq 1$

が成立するとする。

対称性みたいなものを意識して書くと、こうなる。こちらの方が覚えやすい。

$\frac{1}{p} - \frac{j}{n} = \theta ( \frac{1}{r} - \frac{m}{n} ) + (1 - \theta) (\frac{1}{q} - \frac{0}{n})$

すると、ある不等式が二つの例外の事例を除いて成立する。

$||\nabla^j u||_{L^p(\mathbb{R}^n)} \leq C ||\nabla^m u||_{L^r(\mathbb{R}^n)}^\theta ||u||_{L^q(\mathbb{R}^n)}^{1 - \theta}$

細かい例外の条件については、こちらのwikiを参照して頂きたい。

関数解析において、このGagliardo Nirenberg 不等式は便利な道具だ。

ソボレフ不等式についてはこちら（wiki）