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『微分積分概説』

こちらの本をおおざっぱにまとめる。

始めましょうか

  • 基本概念
    • 集合
      • 数直線
        • 直線上の点がただ一つの実数が対応する
    • 実数の基本性質
      • 4つの性質
        • 四則演算
        • 大小関係
          • 3つの関係 
          • 大きいか小さいか等しい
        • 稠密性
          • 二つの異なるものの間に、実数があり
            • 中点あり
              • 真ん中との中点、・・・・
          • 埋められている
        • 連続性
          • 集合の連続性
    • 連続関数と極限値
      • ε-δ論法
        • 任意のεに対して、あるδが存在して、 0 <|x-a|<\delta \rightarrow |f(x) - A| <\epsilon
      • 関数の連続
        • 極限とそこでの値が等しい
    • 初等関数
  • 微分
    • 連続関数と微分
    • 連続関数と導関数の性質
      • 有界、最大値、最小値
      • 有界区間は、連続写像で移しても、有界だし、最大、最小を持つ
      • 中間値の定理
        • 連続関数なら、区間の両端の点での値の、間の値をとるような、区間内の点がある。
        • 存在する、系の定理
          • 病状が関数fに従うとする、関数は定義域にホルモンの値を、余定義域に重症度(脈拍?)とする。
          • ホルモンの値が正常から、致死までの区間がある。
          • ある重症度を表すような、ホルモンの値がある。
            • そこをカットオフ値にしよう、という考えが出てくる
            • 二こぶラクダのような関数ではどうなる?
              • 区間を分割して、別々のカットオフを作る
        • n次導関数
        • ライプニッツの公式、合成関数の微分
    • 逆関数とその微分
      • 単調増加、単調減少
    • 極値問題
      • 極大、極小
      • 導関数の正負の入れ替わり
        • L1ノルムも極小
        • C2ではない
  • 積分
  • 平均値定理テイラー展開
  • 数列と実数
  • 微分積分学再考
    • 関数の連続性
      • 一様連続
        • εδの、δが各点には無関係である、ということ
      • 区間上の連続関数が有界、最大、最小値を持つ
      • 中間値の定理
      • 区間上の連続関数は一様連続
    • 微分
    • 積分
      • 連続関数は定積分可能
  • 偏微分
    • 空間 \mathbb{R}^nと距離
      • 距離と近傍
        • ノルム
        • 距離
        • ε近傍
        • 内点
          • 球が入る
        • 外点
          • 球が外に入る
        • 境界点
          • 内点、外点以外
          • 境界点を含めば、閉集合
          • 否なら、開集合
        • 集積点
        • 連結
          • 曲線で2点間を結べる
          • 連結な開集合は領域
        • 曲線
        • 曲率半径
    • 多変数関数の連続性
      • 連続(多変数)
        • どの方向も連続
      • 有界閉集合上の連続関数は有界、最大、最小をもつ、一様連続
    • 偏微分
    • 偏微分の計算
  • 偏微分の応用
    • 関数行列式
      • ヤコビアン
        • 関数行列式
          •  \begin{vmatrix} f_x(x,y) \quad f_y(x,y) \\ g_x(x,y) \quad g_y(x,y)\\ \end{vmatrix}
          • もとの変数がこれだけ動いたら(多変数の変位の組が与えられたら)、関数で変換後はこれだけ動きます、という情報に変えるための「変換器、ラジオの周波数合わせるやつ」
        • 連鎖定理もある
      • ヘシアン
        • 二階微分の仕方いろいろ
          • 同じ変数
          • 違う変数
          • n^2通り
        • 気持ちは、加速度、曲がり具合、放物線 y= ax^2 a
      • ロンスキアン
        • 2つの多様性
          • 一変数の多くの関数、多くの微分回数
        • 関数と何回微分するかの組、これを行列の成分にした、関数行列
    • 陰関数定理と逆写像定理
      • 陰関数定理
        • 条件満たしたとき、何かが存在する系 
          • 関数がある点の近傍で、連続で値が0とする
          • さらに、yの偏導関数が連続かつある点で非ゼロとする
          • このとき、 y = \phi(x)を満たす連続関数がただ一つ存在する
        • 式の形が決まる系
          •  \phi^{'}(x) = - \frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}
        • 多様性
          • 多変数に拡張
            •  
          • 式を複数に拡張
            • 式の値が(その点で)0で、
            • 連続で
            • 消したい(陰にしたい)数に関してC1級で
            • ヤコビアンが非ゼロなら
            • 存在
    • 極値問題
      • 極値取るなら、偏導関数0
      • ある点の近傍でC2級で、そこでの偏導関数が0で、さらに、 D = f_{xy}(a,b)^2 - f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) <0とする
      • [tex: f_{xx}の正負で極小、極大が決まる(順同じ)
    • 接線と接平面
      • 接平面
        • 逸脱した変位と、法線の内積が0、という縛り
        • 逸脱しても、条件を満たし続けるものの集合
          • 逃れられない
        • 接平面(平面)という縛り=内積の形の縛り
  • 積分
    • 積分の定義
      • ダルブーの不等式
        • 最大、最小の間にある、というやつ
      • 積分の線形性
      • 閉長方形内で連続な関数は2重積分可能
      • 有界閉領域で面積確定であるための必要十分条件は、 lim_{|\Delta|\rightarrow 0} |\partial D \Delta | = 0
      • 特性関数
        • あるなら1、ないなら0
    • 積分の計算
  • 積分の応用
    • 体積
    • 曲面積
    • 積分と面積分
      • グリーンの定理
        • 平面上の有限の単純閉曲線で囲まれた領域でのC1級の関数に対して、成り立つ式
        • ぐるっと回るやつを、閉曲線内の面に注目すればよくなる
        • 積分が、面積分
      • ストークスの定理
        • グリーンの三次元版
      • ガウスの定理
        • 閉曲面の面積分が、閉曲面内の領域に注目すればよくなる
        • 積分が体積分
  • 関数列の収束
    • 関数列の収束と一様収束
      • 連続関数が一様収束なら、極限と積分の順序気にしない
      • 関数、導関数が一様収束すれば、微分と極限の順序気にしない
    • 関数項級数の収束
    • べき級数の収束
  • 微分方程式