2022-01-26 『微分積分概説』 こちらの本をおおざっぱにまとめる。 始めましょうか 基本概念 集合 数直線 直線上の点がただ一つの実数が対応する 実数の基本性質 4つの性質 四則演算 加減乗除 大小関係 3つの関係 大きいか小さいか等しい 稠密性 二つの異なるものの間に、実数があり 中点あり 真ん中との中点、・・・・ 埋められている 連続性 集合の連続性 連続関数と極限値 ε-δ論法 任意のεに対して、あるδが存在して、 関数の連続 極限とそこでの値が等しい 初等関数 多項式、有利関数、三角関数 微分 連続関数と微分 連続 微分係数 これが存在するか、しないか 微分可能とは、微分係数が存在する 連続関数と導関数の性質 有界、最大値、最小値 有界閉区間は、連続写像で移しても、有界だし、最大、最小を持つ 中間値の定理 連続関数なら、区間の両端の点での値の、間の値をとるような、区間内の点がある。 存在する、系の定理 病状が関数fに従うとする、関数は定義域にホルモンの値を、余定義域に重症度（脈拍？）とする。 ホルモンの値が正常から、致死までの区間がある。 ある重症度を表すような、ホルモンの値がある。 そこをカットオフ値にしよう、という考えが出てくる 二こぶラクダのような関数ではどうなる？ 区間を分割して、別々のカットオフを作る ｎ次導関数 ライプニッツの公式、合成関数の微分 逆関数とその微分 単調増加、単調減少 極値問題 極大、極小 導関数の正負の入れ替わり L1ノルムも極小 C2ではない 積分 不定積分と定積分 区間の分割 リーマン積分 分割した長方形の和が（分割法に関係なく）収束→定積分可能 連続関数は定積分可能 部分積分法、置換積分 定積分の計算 広義積分 区間を極限とると、そこでの積分が収束する場合 が基準。それよりましなら、広義積分可能 平均値定理とテイラー展開 平均値定理 ロルの定理 平均値の定理 微分可能なら、端点同士を結んだ線と傾きを等しくする接線を引ける コーシーの平均値定理 2つの関数のバージョン テイラーの定理 ｎ回連続微分可能なら、n+1項に分解 剰余 コーシーの剰余、ラグランジュの剰余 テイラーの定理の応用 数列と実数 実数の連続性 有界 ワイエルシュトラスの定理（連続性の公理） 有界なら上下限あり 数列の収束 収束する数列は有界 有界で単調（増加or減少）な数列は収束する ボルツァノ-ワイエルシュトラス 有界な数列は収束する部分列を持つ コーシーの収束判定条件 級数の収束 正項級数と絶対収束級数 正項級数収束ならば、置換しても収束 比較判定法 ダランベールの判定法 コーシーの判定法 ディクリレの定理 級数が絶対収束するなら、置換しても同じ値に収束 微分積分学再考 関数の連続性 一様連続 εδの、δが各点には無関係である、ということ 閉区間上の連続関数が有界、最大、最小値を持つ 中間値の定理 閉区間上の連続関数は一様連続 微分 積分 連続関数は定積分可能 偏微分 空間と距離 距離と近傍 ノルム 距離 ε近傍 球 内点 球が入る 外点 球が外に入る 境界点 内点、外点以外 境界点を含めば、閉集合 否なら、開集合 集積点 連結 曲線で2点間を結べる 連結な開集合は領域 曲線 始点、終点、重複点 閉曲線 ジョルダン閉曲線 重複点が始点（終点）のみ ジョルダンの閉曲線定理 2つの領域に分かれ、片方は有界 曲率半径 多変数関数の連続性 連続（多変数） どの方向も連続 有界閉集合上の連続関数は有界、最大、最小をもつ、一様連続 偏微分 一変数以外を固定して、一変数で微分する 偏導関数 全微分と関数の連続性 偏微分の順序の交換 偏導関数が互いに偏微分可能で、偏微分したものが連続なら、偏微分の順序を入れ替えてよい 偏微分の計算 合成関数の微分 連鎖定理 微分するとき、外の微分×中の微分×（もっと中の微分）・・・という連鎖 テイラーの定理（多変数） 偏微分の応用 関数行列式 ヤコビアン 関数行列式 もとの変数がこれだけ動いたら（多変数の変位の組が与えられたら）、関数で変換後はこれだけ動きます、という情報に変えるための「変換器、ラジオの周波数合わせるやつ」 連鎖定理もある ヘシアン 二階微分の仕方いろいろ 同じ変数 違う変数 n^2通り 気持ちは、加速度、曲がり具合、放物線の ロンスキアン 2つの多様性 一変数の多くの関数、多くの微分回数 関数と何回微分するかの組、これを行列の成分にした、関数行列 陰関数定理と逆写像定理 陰関数定理 条件満たしたとき、何かが存在する系 関数がある点の近傍で、連続で値が0とする さらに、yの偏導関数が連続かつある点で非ゼロとする このとき、を満たす連続関数がただ一つ存在する 式の形が決まる系 多様性 多変数に拡張 式を複数に拡張 式の値が（その点で）0で、 連続で 消したい（陰にしたい）数に関してC1級で ヤコビアンが非ゼロなら 存在 極値問題 極値取るなら、偏導関数0 ある点の近傍でC2級で、そこでの偏導関数が0で、さらに、とする [tex: f_{xx}の正負で極小、極大が決まる（順同じ） 接線と接平面 接平面 逸脱した変位と、法線の内積が0、という縛り 逸脱しても、条件を満たし続けるものの集合 逃れられない 接平面（平面）という縛り＝内積の形の縛り 重積分 重積分の定義 ダルブーの不等式 最大、最小の間にある、というやつ 定積分の線形性 閉長方形内で連続な関数は2重積分可能 有界閉領域で面積確定であるための必要十分条件は、 特性関数 あるなら1、ないなら0 重積分の計算 累次積分 積分の順序交換 変数変換 ヤコビアンかける 次元合わせ 重積分の応用 体積 曲面積 線積分と面積分 グリーンの定理 平面上の有限の単純閉曲線で囲まれた領域でのC1級の関数に対して、成り立つ式 ぐるっと回るやつを、閉曲線内の面に注目すればよくなる 線積分が、面積分に ストークスの定理 グリーンの三次元版 ガウスの定理 閉曲面の面積分が、閉曲面内の領域に注目すればよくなる 面積分が体積分 関数列の収束 関数列の収束と一様収束 連続関数が一様収束なら、極限と積分の順序気にしない 関数、導関数が一様収束すれば、微分と極限の順序気にしない 関数項級数の収束 項別積分 項別微分 べき級数の収束 微分方程式 微分方程式 1階の微分方程式 定係数2階線形微分方程式
