特異点に入門する - 医科学(仮)

特異点という考え方について気になった。
- 生物における特異点とは、人生における特異点とは。
簡単そうな文献を最初に見る。こちら。
始めましょうか。
展望
- 複素解析の目的
  - 正則関数の性質を知る。
- 正則領域と正則でない領域は性質に関わりがある。
  - 正則である点、正則でない点の名前をそれぞれ、正則点、特異点という。
  - 正則とは、その点で、関数が微分可能
  - 特異点のパターン
    - 発散
    - 分岐点
      - 関数の値が不定
      - 微分係数の値が定まらない
    - 孤立しているとは限らない
      - $1/(n \pi )$
  - リーマン面
    - 関数の性質を理解する手助け
孤立特異点
- 孤立特異点の定義
  - 点の近傍で、1価正則な関数が、その点で正則でない
    - 1価正則とは、変数の組を入力したら、ただ1通りの値を返す、という関数で、正則である、ということ。
  - このとき、この点を関数の孤立特異点という。
  - 3つの区別
    - 種類
    - 非同一視
- 除き得る特異点
  - 1点を除いて一価正則
  - かつ、絶対値が有界
  - 性質
    - 除き得る特異点を、極限の値と定義し直す。
    - $sin(z)/z$
- 極
  - 近傍で一価正則
  - 近づけ方によらず、絶対値が無限大になる
  - 性質
    - k位の極
    - $g/(z-z_0)^k$
  - 極の場合、位数を考えよう
  - 有界ではないので、除き得ない。
- 真性特異点
  - 近傍で一価正則
  - 有界ではなく、極でもない
    - 極限の取り方によっていろんな値を取る。
  - 形（式）
    - $f(z) = \Sigma_{n= -\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n$
  - Weierstrassの定理。
    - ある点が、関数の真性特異点なら、その点の近傍の任意に小さい領域内で、関数は、任意の複素数値にいくらでも近い値をとる。
    - εδ論法
      - 任意のεに対して、あるδが存在
        
        距離がδ未満の場所に、値の差がεの点がある。
  - Picardの定理
    - ある点から、距離ρ未満で、関数が一価正則で、その点が真性特異点（孤立特異点）なら、関数は、高々1つの値を除き、全ての有限な複素数値をその領域内で無限回取る。
  - 集積特異点
    - 特異点が近傍に無数に存在ｓる
分岐点
- べき乗根や対数関数など、複素平面上で、点の周りを2π回って元に戻っても、元の値に戻らない点
  - $w = z^{\frac{1}{2}}$
  - 2つのz平面を考える
    - リーマン面
  - 2葉リーマン面
  - $w = (z-1)^{\frac{1}{2}}(z-2)^{\frac{1}{3}}$
  - どこが分岐点か
    - $z = \zeta$ と変換して、∞が分岐点か、（べき乗の形か）を調べる。
    - 何枚のz平面を重ねるか、を考える。
  - 有限枚で、リーマン面が作れるなら、代数的分岐点
  - 無限枚で、リーマン面が作れるなら、対数的分岐点
    - 対数関数は、無限に回っている
    - リーマン面上で閉じた閉曲線を作るには、反対方向に同じ回数回る必要あり。
      - 一週して戻ってくることがないから。
      - 行った分、帰る
第4章問題
次に、ちょっとだけ調べる。
特異点定理、というのがあるらしい。
- こちら。
- 毛の生えたボールを空間として、毛の向き方を、数値（要素）として、考え、そこに、特異点なる考えを持ってくるのは面白い。
  - この場合は、極？それとも、除きうる特異点？
    - 有界かどうか
    - 毛の向きは、有界そう。（？）
  - 真性特異点ではなさそう。
- 流体力学にも使える。風の例
  - この場合は、極なのではないか？
お絵かきしている記事があった。
- zの平方根のリーマン面
- 作り方
  - mesh gridを作る（平面をえがくため）
  - 偏角と虚部の絶対値を利用して、色づけ。（赤から紫まで円環をなすので、それが、代数的分岐点にとって都合が良い）
何事にも、数学的考える癖をつけたい。
今回なら、連続的なものを用意して、それが、どこもかしこも繋がっている（同じ感じ、良さげ）か、それとも、どこかで途切れているか。（特異点）別の空間に移るか。（複数のz平面の例）

バイバイ！