「偏微分方程式入門ー数理ファイナンスとともに」

数理ファイナンス

こちらの文章をまとめる。

始めましょうか。

Brown運動と拡散方程式
- Brown運動
  - Eisteinの理論
    - Δt秒後に、位置がyずれている確率を考え、
    - Δt秒後に位置xにある単位体積当たりの粒子の数を、yを－∞から∞までで積分することで求める。
    - こうして拡散方程式が出来る。
  - 伊藤清の補題
    - $(dW_t)^2 = dt$
    - 確率過程
- 拡散方程式
  - 砂糖が水に溶ける
    - 水分子が砂糖分子を動かす
    - ある種のBrown運動
  - 拡散方程式の一般的性質
    - 時間tの過去に向かっては一般的に解けない
    - 時間が十分経つと概ね一様になる
株価変動モデルとBlack-Scholes方程式
- 株価変動モデル
  - 株価変動の仕組みを微視的に考える
    - 投資家の好みが多様
      - これは、先の水分子の運動が多様ということに対応
    - これが乱雑さの原因
  - - 対数正規過程
    - 右辺第二項は、ドリフト項
      - 全体的には上昇（下降）
- Black-Scholes方程式
  - 無裁定価格理論
    - There is no free lunch.
  - 証券
    - 原証券
      - もとの金融商品
    - 派生証券
      - 金融商品から派生して定められた証券
  - 先渡し
    - ある金融商品を、未来のある時点で現在取り決めた価格で受け渡しする取引
  - Option
    - 先渡し取引＋取引を実行するかの選択権が負荷された取引
  - 先渡しを買う
  - Call Optionを買う
    - $max(S_T - K, 0)$
  - Black-Scholes方程式
    - C(S,t)の変動
    - Riskless Portfolioの構成
    - No arbitrage
  - $\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} (S,t) + rS\frac{\partial C}{\partial S}(S,t) - rC(S,t)= 0$
- 連続複利について
拡散方程式の解法
- 有界区間の場合
  - 熱方程式の解法
  - - 変数分離
      - 時間と位置
    - 線形結合
      - 正規直交基底
  - Fourier級数解
- 全空間の場合
  - $u(x,t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{\pi \nu t} e^{-(x-y)^2/4\nu t}u_0(y) dy$
Black-Scholes方程式の解法
- 熱方程式への変換
- Black-Scholes option評価公式
自由境界問題
- Stefan問題
  - 氷柱が解けて、水になっていく様子
  - 水柱の高さと温度の関数
    - 水柱の高さは、自由境界
  - 結晶の成長面
  - コンクリートに水がしみこんでいる現象
    - 境界が変動する問題
- Put-call parity
  - call option とは、株式を定められた価格で買う権利を売買する
  - put option とは、株式を定められた価格で売る権利を売買すること
- American put option の価格評価