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「偏微分方程式入門ー数理ファイナンスとともに」

数理ファイナンス

こちらの文章をまとめる。

始めましょうか。

  • Brown運動と拡散方程式
    • Brown運動
      • Eisteinの理論 
        • Δt秒後に、位置がyずれている確率を考え、
        • Δt秒後に位置xにある単位体積当たりの粒子の数を、yを-∞から∞までで積分することで求める。
        • こうして拡散方程式が出来る。
      • 伊藤清補題
        •  (dW_t)^2 = dt
        • 確率過程
    • 拡散方程式
      • 砂糖が水に溶ける
        • 水分子が砂糖分子を動かす
        • ある種のBrown運動
      • 拡散方程式の一般的性質
        • 時間tの過去に向かっては一般的に解けない
        • 時間が十分経つと概ね一様になる
  • 株価変動モデルとBlack-Scholes方程式
    • 株価変動モデル
      • 株価変動の仕組みを微視的に考える
        • 投資家の好みが多様
          • これは、先の水分子の運動が多様ということに対応
        • これが乱雑さの原因
      •  dS_t/S_t  = \sigma dW_t+ \mu dt
        • 対数正規過程
        • 右辺第二項は、ドリフト項
          • 全体的には上昇(下降)
    • Black-Scholes方程式
      • 無裁定価格理論
        • There is no free lunch.
      • 証券
      • 先渡し
        • ある金融商品を、未来のある時点で現在取り決めた価格で受け渡しする取引
      • Option
        • 先渡し取引+取引を実行するかの選択権が負荷された取引
      • 先渡しを買う
      • Call Optionを買う
        •  max(S_T - K, 0) 
      • Black-Scholes方程式
        • C(S,t)の変動
        • Riskless Portfolioの構成
        • No arbitrage
      •  \frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} (S,t) + rS\frac{\partial C}{\partial S}(S,t) - rC(S,t)= 0
    • 連続複利について
  • 拡散方程式の解法
    • 有界区間の場合
      • 熱方程式の解法
      •  u(x,t) = \int_0^1 (\Sigma_{n= 1}^\infty 2e^{-n^2 \pi^2 \nu t}sin(n \pi x) sin(n \pi y))u_0(y)dy
        • 変数分離
          • 時間と位置
        • 線形結合
          • 正規直交基底
      • Fourier級数解
    • 全空間の場合
      •  u(x,t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{\pi \nu t} e^{-(x-y)^2/4\nu t}u_0(y) dy
  • Black-Scholes方程式の解法
    • 熱方程式への変換
    • Black-Scholes option評価公式
  • 自由境界問題
    • Stefan問題
      • 氷柱が解けて、水になっていく様子
      • 水柱の高さと温度の関数
        • 水柱の高さは、自由境界
      • 結晶の成長面
      • コンクリートに水がしみこんでいる現象
        • 境界が変動する問題
    • Put-call parity
      • call option とは、株式を定められた価格で買う権利を売買する
      • put option とは、株式を定められた価格で売る権利を売買すること
    • American put option の価格評価

数理ファイナンスで、偏微分方程式が出てくることは分かった。

確率微分方程式や、自由境界問題については、別の記事で考えてみることとする。

バイバイ(売買)!