ただのメモ

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一般線形群

こちらの記事をまとめる。

始めましょうか

  • 一般線形群
  • ベクトル空間の一般線形群
  • 行列式
    • 体F上で、行列式が非零である時に限り、行列は可逆である。
    • Unit(環論)
      • 乗法について、逆元のある要素
      • 整数環なら±1
    • 可換環なら、一般線形群は、行列式がunitな行列な群
    • 可換環なら、行列環のunit groupとして定義される
      • 行列式が上手く振る舞わないから、それは使わない
  • Lie群として
      • 実数体上の一般線形群は、次元n^2のリー群
        • 行列式多項式写像
        • 開 affine subvariety
          • Zariski位相における、行列全体の∅でない開部分集合
        • Affine algebraic set
          • 体の要素を係数に持つ多項式の塊があり、それらが、全て0になるような、変数の組の集合
        • Affine variety
          • Affine algebraic setで、2つのそれの和集合として表せないもの
        • リー群
    • 複素
  • 有限体上で
    • Fがq個の要素の有限体
      • pが素数の時
        •  GL(n,p)  \mathbb{Z}_p^nと自己同型群
      • 群の位数
        • 集合に入っている元の個数
      • 群の元aの位数
        •  a^m = eであるような最小の正の整数
    • グラスマニアン
      • k次元の部分空間の集合
    • グラスマニアンのSchubert分解
  • 特殊線形群
  • 他の部分群
    • Diagonal Subgroup
      • 対角行列
    • Classical Groups
      • 直交群
      • シンプレクティック群
      • ユニタリ群
  • 関連する群
    • 射影線形群
      • PGL(V) = GL(V)/Z(V)
        • Z(V)は、全ての非ゼロスカラー変換の部分集合
      • 射影空間に作用するから、商の形になっている。
        • 「どこ」に作用するか、
      • 似たような感じで、射影特殊線形群を考えられる。
    • アフィン群
      • 一般アフィン群
        • 可逆なアフィン変換の群
        • n次元一般線型群とn次元の並進運動を合成したもの
        • ベクトル空間とその一般線型群の半直積
          • 半直積
            • 内部半直積
              • 群が2つの部分群からなり、そのうちの1つは正規部分群
            • 外部半直積
              • Cartesian積を使って、2つの群から新しい群を作る
    • 一般半線形群
      • 全ての可逆半線形変換の集合が群をなす
        • 半線型
          • 加法性とθ斉次性
        • ガロア
          • 拡大体
            • 部分体の反対側からの言い方
          • Aut(E/F)
  • 無限一般線形群

有限体上の部分や、リー群のイメージがわかなかったが、今はこれで良いことにする。

ガロア群についても知りたい。

バイバイ!