一般線形群 - 医学は数学したい

こちらの記事をまとめる。

始めましょうか

一般線形群
- n×nの正則行列の集合
  - 普通の行列の積の演算がついている
  - 群
    - 二項演算が閉じている
    - 逆元がある
    - 単位元（単位行列）がある。
- 列が線形独立だから
- 要素の含まれる体
  - 実数体
  - 複素数体
- 特殊線形群
  - 行列式が1という追加の制約
- モジュラー群
  - $SL(2, \mathbb{Z})$
- nが2以上なら非可換
ベクトル空間の一般線形群
- 体F上のベクトル空間V
- Vの一般線形群
  - 自己同型写像の群
    - 全単射な写像V→V
  - 写像の合成を、演算とする
- 次元が同じなら、同型
行列式
- 体F上で、行列式が非零である時に限り、行列は可逆である。
- Unit（環論）
  - 乗法について、逆元のある要素
  - 整数環なら±1
- 可換環なら、一般線形群は、行列式がunitな行列な群
- 非可換環なら、行列環のunit groupとして定義される
  - 行列式が上手く振る舞わないから、それは使わない
Lie群として
- 実
  - 実数体上の一般線形群は、次元n^2のリー群
    - 行列式は多項式写像
    - 開 affine subvariety
      - Zariski位相における、行列全体の∅でない開部分集合
    - Affine algebraic set
      - 体の要素を係数に持つ多項式の塊があり、それらが、全て0になるような、変数の組の集合
    - Affine variety
      - Affine algebraic setで、2つのそれの和集合として表せないもの
    - リー群
      - C∞級多様体で、2項演算と逆演算が滑らかな多様体上の写像となっているもの
- 複素
有限体上で
- Fがq個の要素の有限体
  - pが素数の時
    - $GL(n,p)$ が $\mathbb{Z}_p^n$ と自己同型群
  - 群の位数
    - 集合に入っている元の個数
  - 群の元aの位数
    - $a^m = e$ であるような最小の正の整数
- グラスマニアン
  - k次元の部分空間の集合
- グラスマニアンのSchubert分解
特殊線形群
- 行列式が１の全ての行列のなす群
- 行列式は多項式
- GL(n,F)の正規部分群
  - 正規部分群
    - $gNg^{-1} = N$
- - 非ゼロで、積に関して群をなす
- 行列式は群準同型
- 第一同型定理
  - G,Hを群、 $\phi: G \rightarrow H$ を準同型写像とすると、 $G/Ker(\phi ) \simeq Im(\phi )$
- SL(n, R), SL(n, C)は、GL(n)の次元n^2 -1の部分群である
他の部分群
- Diagonal Subgroup
  - 対角行列
- Classical Groups
  - 直交群
  - シンプレクティック群
  - ユニタリ群
関連する群
- 射影線形群
  - PGL(V) = GL(V)/Z(V)
    - Z(V)は、全ての非ゼロスカラー変換の部分集合
  - 射影空間に作用するから、商の形になっている。
    - 「どこ」に作用するか、
  - 似たような感じで、射影特殊線形群を考えられる。
- アフィン群
  - 一般アフィン群
    - 可逆なアフィン変換の群
    - n次元一般線型群とn次元の並進運動を合成したもの
    - ベクトル空間とその一般線型群の半直積
      - 半直積
        
        内部半直積
        
        群が2つの部分群からなり、そのうちの1つは正規部分群
        
        外部半直積
        
        Cartesian積を使って、２つの群から新しい群を作る
- 一般半線形群
  - 全ての可逆半線形変換の集合が群をなす
    - 半線型
      - 加法性とθ斉次性
    - ガロア群
      - 拡大体
        
        部分体の反対側からの言い方
      - Aut(E/F)
無限一般線形群

有限体上の部分や、リー群のイメージがわかなかったが、今はこれで良いことにする。

ガロア群についても知りたい。

バイバイ！