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Complex Function basic 1

複素関数の基礎のキソを駆け足で理解する。第一弾。

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1章

虚数i

2乗すると-1になる数。a,bを実数とすると、a+biの形式で表される数を複素数と言う。

複素数の4則演算

複素平面

複素数a+biはベクトル(a, b)に対応する

複素平面を使うことで、ベクトルの積や商(のようなもの)を導入できる。

虚部に-1をかけることで、共役複素数を作る

複素数の長さは、そのままベクトルの長さ。偏角複素数zと0を結ぶ線分と実軸の正の方向のなす角。

・和と積の幾何学的意味

極座標表示を使うことで、長さと角度の項に分離が出来て、かけ算をする時に、それぞれ独立に扱えて便利。(長さの部分はかけ算、偏角の部分は角度を足し算)

この変形において、加法定理を利用している。

 

2章

・前回のポイントと補足

積の法則からde Moivre's theoremが導かれる

ja.wikipedia.org

オイラーの等式

・指数関数の定義

オイラーの等式を拡張したもの。複素数乗となっている時、実部は長さのスケールに、虚部は偏角に関与する

極形式

・指数関数の性質

指数法則と周期性。2πiごとに繰り返す。

・指数法則の応用

1のN乗根をde Movire's theoremと周期性を利用して求める。

 

 3章

  • 複素数の定義(実数2つと、虚数1つで表す。2つの情報(実数)を背負う)。絶対値と偏角が決められ、指数法則とか周期性がある。
  • 対数関数もあるけど、複素数の対数は、無限個の複素数になる(くるくると角度が回る)。それと付随して、複素数複素数乗も、考えてみたら無限個になる。複素数zの複素べき z^{1/N}は、zのN乗根すべてになる。

4章

  • 三角関数の話
  • 函数の極限。(数列の極限。実数の数列が収束する、あるいは有限の極限を持つ、若しくは極限が有限確定であるとは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づくこと。短くまとめると、数列が有限の値に、回を追うにつれて、限りなく近づく、ということ。何かの値に近づくことと、番号が大きくなること(無限大に近づくこと)は、本質的にはたいした差ではない(逆数にしたら0に近づくことと同等?))
  • 数列の極限について、厳密には、「xが数列(Xn)の極限であるとは、1)任意の実数ε(>0)に対して、ある自然数Nが存在して、任意の自然数n>Nに対して、|Xnーx|<εが成り立つこと。四則演算ができるし、うれしい。挟み撃ちの原理(仲間に追い出しの原理?なるものもある)(高校数学用語かね)。「数列が有界且つ単調であれば、収束する」。そこから、距離空間について、拡張したり、(先ほどの絶対値を距離関数に代替)。位相空間について「位相空間(X、τ)の点xが点列(Xn)の極限であるとは、xの任意の近傍Uに対して、あるNが存在して、任意のn>Nに対して、xnがUに属すること」。ε以内の距離、というのを、任意の近傍Uに属する、という言い換えをしているだけ。
  • 函数の極限は、さっきの数列を関数に入れ替えただけ。{\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
  • 三角不等式。三角不等式は、ノルム(独立性、斉次性、劣加法性を満たす関数)空間では、定義に入る。距離函数の定義の性質の1つでもある。球面幾何学でも成立。折れ線不等式(2点を結ぶ折れ線の長さの総和は、二点を結ぶ直線の長さを下回らない。)。高次単体不等式に拡張できる。(n次単体について、(nー1)次元ファセット(高次元の面)の超体積は、それ以外のn個のファセットの超体積の和以下)※ちなみに、高次元空間と不等式について、こんなノートもありました。
  • 函数の連続性について、極限とその丁度の時の値が等しいなら、その点において、連続であるという。それが領域上すべての点で連続なら、領域上で連続、という。定義域すべてで連続なら、連続関数という。

5章

 

数学における基本的な単語と、複素関数の基本を学んだ。この続きは別の記事でまとめよう。

 

それでは、バイバイ!