コンパクト。ハイネ・ボレルの定理。

ハイネ・ボレルの被覆定理 - Wikipedia

Heine-Borel theorem

・実数全体 $\mathbb{R}$ の部分集合Sについて、Sが有界閉集合であることと、Sがコンパクトであることが同値

・距離空間で、部分集合がコンパクトであることと、完備全有界であることが同値。

表現が抽象的であり、感覚的につかめないので、これを理解することを目的とする。

関連した文書を拾った。確認する。

isou_compact_20201023.pdf (u-tokyo.ac.jp)

コンパクト性
- （X, D）を位相空間
  - 集合の被覆 - Wikipedia
  - Xの部分集合の族が、Xの部分集合の被覆である
    - 集合Xから部分集合の族を取ってくる。
    - それを合併させて、一塊にする。
    - すると、Xの部分集合Sがその塊に包含される。
    - それがSが塊に覆われる感じ（？）
  - 開被覆
    - その族がもとの位相（Xの部分集合の塊）に含有される。
- Xの部分集合Aがコンパクトである
  - Aの任意の開被覆εについて、ある条件を満たす有限部分開被覆が存在。
    - 有限部分開被覆とは、
      - 有限は数が有限
      - 部分は、もとの族の部分集合で、
      - もとの族が開被覆となっているもの
    - ある条件とは、
      - そのいくつもの開被覆の合併が、部分集合Aを含む。
  - 自然言語的理解を試みる
    - 集合の部分集合Aがコンパクトである。
    - Aを覆う塊を生み出す、部分集合の族があったら、
    - そこから、有限個の集合を取り出したら、
    - それの共通部分でAを覆える
      - これは、つまり、なんかよくわからん部分集合の族でも、有限個の集合の合併という、小さくまとまった形（コンパクト）ですね、ということか（？）
コンパクトの意味（気持ち）は理解した。
残りは、定義・定理が沢山
- 位相空間がコンパクト空間である
  - X自体がコンパクト
- A1,..., Akがコンパクトなら、その合併もコンパクト
- 位相空間がコンパクトなら、写像f:X →Yが連続なら、f（X)もコンパクト
- （X,d)が距離空間。Xの部分集合Aがコンパクトなら、Aは有界な閉集合
  - 距離空間の部分集合が、有界である
    - 直径が有界
      - 有界とは、
      - 順序集合で、、ある元について、その集合の任意の元より大きいあるいは等しい。という場合、上に有界という。
      - 今回は、距離関数が常に正の値を取るので、上に有界。
      - 下に有界と合わせて、有界ということもある。
- Xがコンパクトな位相空間。Xから実数への写像ｆについて、それが連続なら、最大値と最小値がある。
- ルベーグ数の補題
- ハイネ・ボレルの定理
- チコノフの定理
  - 位相空間X,Yがコンパクトなら、直積もコンパクト
- コンパクトな位相空間X、ハウスドルフ空間Y。XからYへの写像ｆが、全単射連続なら、それは同相写像。
- 位相空間Xが局所コンパクトである
  - Xの任意の要素xについて、xのコンパクトな近傍が存在。
- 連結平曲面の分類定理。