ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

コンパクト。ハイネ・ボレルの定理。

ハイネ・ボレルの被覆定理 - Wikipedia

Heine-Borel theorem

・実数全体 \mathbb{R}の部分集合Sについて、Sが有界閉集合であることと、Sがコンパクトであることが同値

距離空間で、部分集合がコンパクトであることと、完備全有界であることが同値。

 

表現が抽象的であり、感覚的につかめないので、これを理解することを目的とする。

 

関連した文書を拾った。確認する。

isou_compact_20201023.pdf (u-tokyo.ac.jp)

  • コンパクト性
    • (X, D)を位相空間
      • 集合の被覆 - Wikipedia
      • Xの部分集合の族が、Xの部分集合の被覆である
        • 集合Xから部分集合の族を取ってくる。
        • それを合併させて、一塊にする。
        • すると、Xの部分集合Sがその塊に包含される。
        • それがSが塊に覆われる感じ(?)
      • 開被覆
        • その族がもとの位相(Xの部分集合の塊)に含有される。
    • Xの部分集合Aがコンパクトである
      • Aの任意の開被覆εについて、ある条件を満たす有限部分開被覆が存在。
        • 有限部分開被覆とは、
          • 有限は数が有限
          • 部分は、もとの族の部分集合で、
          • もとの族が開被覆となっているもの
        • ある条件とは、
          • そのいくつもの開被覆の合併が、部分集合Aを含む。
      • 自然言語的理解を試みる
        • 集合の部分集合Aがコンパクトである。
        • Aを覆う塊を生み出す、部分集合の族があったら、
        • そこから、有限個の集合を取り出したら、
        • それの共通部分でAを覆える
          • これは、つまり、なんかよくわからん部分集合の族でも、有限個の集合の合併という、小さくまとまった形(コンパクト)ですね、ということか(?)
  • コンパクトの意味(気持ち)は理解した。
  • 残りは、定義・定理が沢山