Symplectic多様体

動機：シンプレクティック幾何とは何か知りたい。

 

その過程で、シンプレクティック多様体が出てきた。

まず、こちら。

  • シンプレクティック線形代数
    • VをR上のｍ次元ベクトル空間とする
    • Ω：V×V→Rを双線形Pairingとする
      • Pairingであるとは、双線形写像について、良い性質達を満たしているということ
    • ΩがSkew-Symmetricである
      • 全てのu,vの組に対して、 \Omega (u,v) = - \Omega(v,u)
    • 標準形式（Standard form）
      • ΩがV上のSkew-Symmetricな双線形写像とする
      • 基底がある
        • Ωと基底の間に良い関係達が存在する
      • 行列で書き下せる
        • kとn
      • nは、Ωのランクと呼ばれ、基底の取り方によらない
  • Skew-Symmetric双線形写像ΩがSymplecticである
    • \bar{\Omega} が全単射である
    • （これは、 \U= \{0\}と等価）
      • つまり、k=0、dimV=2n
      • シンプレクティック基底
      • 外積っぽい
        • 同じなら０
        • 違うなら±１
          • 順序による
  • シンプレクティック多様体
    • 多様体を、C^∞級、ハウスドルフ的、Second countableなものとする
      • 第二可算的空間
        • 位相空間Tが第二可算的である
        • Tの可算個の開集合からなる族が存在し、Tの任意の開集合が、その族の適当な部分族に属する開集合の和に表される
    • \omega \in \Omega^2(M)
      • ドラーム2次形式
        • \forall p \in M, \omega_p : T_pM×T_pM \rightarrow \mathbb{R}
        • 接空間の中の点同士の関係をRに落とし込める
      • 2-form ωがシンプレクティックであるとは、
        • どの点pでも、ωpがシンプレクティック（な写像）であり、
        • d \omega = 0
    • シンプレクティック多様体とは、（M,ω）という組で
      • Mが多様体
      • ωがシンプレクティック形式である

次はこちら。

  • 定義
    • 多様体M上のシンプレクティック構造とは、閉じたnon degenerateな二次微分形式
      • 詳しく書くと、以下の2つの制すを満たす、多様体M上の二次形式ω
      • d \omega = 0
      • 多様体上の点pで、その点での接空間の非ゼロ要素ξについて、あるηが存在して、 \omega ( \xi , \eta) \neq 0
    • (M, \omega^2 )が有限次元シンプレクティック多様体なら、Mは偶数次元
    • R^2n上のシンプレクティック構造は、R^2n上の非退化な二次形式である。
      • 非退化な、
      • 退化形式について調べものをすると出てきた。 
        • 有限次元では以下がそれと同値
          • 全ての y \in Vに対して、 f(x,y) =0なら、 x = 0
          • 内積とかもそれ、面積も
            • 面積と言えば、外積
            • これが微分形式と繋がるポイント
        • v→(x→f(x,v))が同型ということ
    • R^2nで[・,・]が備わっているものは、シンプレクティックベクトル空間
      • [・,・]は、平行四辺形の面積の総和として考えられる
    • 2つのベクトルがSkew-orthogonalであるとは、 [ \xi , \eta ] = 0が成立することである。
    • ベクトルのSkew-orthogonal complementとは、そのベクトルに対してSkew-orthogonalなベクトルの集合
      • これを拡張して、ベクトル空間のSkew-orthogonalなものを定義することが出来る。
        • 要素のもつ関係性から、要素を含む集合の関係性へ
        • 階層的に考えること
          • どのように見るか
    • シンプレクティック基底

 

もう一回最初の文献に戻ってみる。

  • UniquenessとExistence
    • 定理3.1　Mをコンパクトなシンプレクティック多様体で、 \omega_0, \omega_1という構造を持つものとする
      • \forall t \in [0, 1],  \omega_t = (1-t) \omega_0 + t \omega_1 がシンプレクティック
      • [ \omega_0 ] = [ \omega_1 ] = \in H_{dR}^2 (M)
    • なら、 \phi^{*} (\omega_1) = \omega_0を満たす微分同相写像が存在する
      • 気持ちとしては、おそらく、tで滑らかに移動してもシンプレクティックな構造が保たれていたので、微分同相という、ある意味で構造が同じですよ、という関係が成立してくれる、ということ。
    • 定理（Darboux）
      • （M、ω）をシンプレクティック多様体とする。そして、pを多様体M上の点とする。
      • すると、点pの近傍に座標系が存在して
        • \omega = \Sigma_{i=1}^n dx_i \wedge dy_i
  • シンプレクティック群
    • 作用 \phi : G \rightarrow Diff(M)がシンプレクティック作用である
    •  

Cotangentバンドルや、Hamiltonianベクトル場など、学ぶことは多いが、とりあえず今はこれで良しとする。

なぜなら、多様体上に特殊な二次形式を持たせることで、うれしいことがあるだろう、ということは検討が付いたから。

気になったらまた戻ってくれば良いだけの話である。

バイバイ！