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Grushinラプラシアン

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2009.03130.pdf (arxiv.org)

Grushin Laplacian  \Delta_G = \Delta_x + |x|^{2s} \Delta_y, s \in \mathbb{N}

  • UをR^Nの境界付き開部分集合と置く
  •  W_G^{1,2} (U)をL^2(U)における実数関数で、 \partial_{x_i} u \in L^2(U) |x|^s \partial_{y_j} u \in L^2(U)を満たすものの集合
  • Scalar product
  • Norm
  • Grushin gradient
    • 普通の偏微分と、|x|^sを掛けたyでの偏微分を一列に並べる。
    • すると、ノルムは、普通のノルムとGrushin gradientのノルムの和と等価になる。
  • もし、 \bar{U} \cap \{x=0\} = \varnothing
  • 定理
    • Rellich-Kondrachov
    • UがR^Nの境界付き開部分集合とする。
    •  W_{G,0}^{1,2}(U)  L^2(U)にコンパクト埋め込みされるl。
  • 定理
    • ポアンカレ不等式
    • ある定数Cで以下を満たすものが存在。
      •  ||u||_{L^2(U)} \leq C || | \nabla_G u|||_{L^2(U)},u \in W_{G,0}^{1,2}(U)