Grushinラプラシアン - 医科学(仮)

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Grushin Laplacian $\Delta_G = \Delta_x + |x|^{2s} \Delta_y, s \in \mathbb{N}$

UをR^Nの境界付き開部分集合と置く
$W_G^{1,2} (U)$ をL^2(U)における実数関数で、 $\partial_{x_i} u \in L^2(U)$ 、 $|x|^s \partial_{y_j} u \in L^2(U)$ を満たすものの集合
Scalar product
- 普通の内積と、1階微分の内積の和と、|x|^sの項同士の内積の和
- こうすることで、内積を定義出来る。
Norm
- 自分自身同士の内積を作る。
- それの平方根を取る
Grushin gradient
- 普通の偏微分と、|x|^sを掛けたyでの偏微分を一列に並べる。
- すると、ノルムは、普通のノルムとGrushin gradientのノルムの和と等価になる。
もし、 $\bar{U} \cap \{x=0\} = \varnothing$
定理
- Rellich-Kondrachov
- UがR^Nの境界付き開部分集合とする。
- $W_{G,0}^{1,2}(U)$ は $L^2(U)$ にコンパクト埋め込みされるｌ。
定理
- ポアンカレ不等式
- ある定数Cで以下を満たすものが存在。
  - $||u||_{L^2(U)} \leq C || | \nabla_G u|||_{L^2(U)},u \in W_{G,0}^{1,2}(U)$