Topology, Heegaard分解

トポロジー入門。勢いでまとめる。

100416.pdf (hokudai.ac.jp)

  • トポロジーは幾何学の1分野
    • ものの繋がり具合を表す概念
    • 柔らかい幾何学
  • 伸ばしたり、縮めたり、曲げたりして重ねられるものは同じ
  • Note！：トポロジーというと、位相幾何学の意味と、空間上の構造としての位相の意味と、2種類あり得る。
    • 文脈依存的な使われ方。
  • 幾何学は図形を扱う。
    • 同じ図形である、という基準
    • 基準に応じた幾何学がある
  • トポロジーの場合、
  • 位相空間
    • 定義
      • Xを集合、OをXの部分集合の族
      • OがX上の位相であるとは、
        • Xも空集合もOの要素で
        • Oの有限個の要素の共通部分はOの要素で、
        • Oの要素の族の和集合もOの要素
    • 例
      • Xの冪集合もXの位相の1つ
        • 離散位相という
      • 空集合とXからなる集合も、Xの集合の1つである。
        • 密着位相という。
    • 連続写像
      • f: (X_1, O_1 ) \rightarrow (X_2, O_2 ) が連続写像であるとは、
        • 任意の U_2 \in O_2に対して、 f^{-1} (U_2) \in O_1
    • 例
      • m(0)とm(1)が同相
  • ポアンカレ予想と基本群
    • ポアンカレ予想
      • Mを3次元閉多様体
        • s.t. 基本群は自明
      • ならば、Mは3次元球面と同相
    • 細かい単語
      • 多様体
        • 定義
          • Mはn次元多様体である
            • 各点pに対して、Mの部分開集合でpを包含するUと、R^nの開集合U’について,
            • 同相写像 \psi : U \rightarrow U^{'} が存在する。
        • 閉多様体
      • P ( X; a,b) = \{continuous function p: I \rightarrow X |p(0) =a, p(1) =b\}
      • u0とu1がホモトープである
        • ut, ただしtは0以上1以下である、という連続な族が存在する。
      • 基本群
        • \pi_1 (X; a) = P(X; a,a) / \simeq
      • 球面なら、どれも同じ。
      • トーラスなら、2パターンある。
        • どーなつの周りの円と、ドーナツの穴を通る円
      • 基本群は位相不変量
    • 基本群が自明とは、これが、球面のような時。つまり、どの2つの経路もホモトープである。
  • 3次元多様体とHeegaard分解
    • 3次元球面
      • 4次元空間R^4で、原点からの距離が1の点の集合
    • S^3は3次元ボールB^3を2つ用意して、境界のS^2で貼り合わせて出来る
    • S^3は、、トーラスによって、2つのソリッドトーラスに分けられる
  • Heegaard分解
    • 多様体を2つのハンドル体に分割すること。
  • 定理
    • 全ての向きつけ可能な閉3次元多様体は、Heegaard分解を持つ。