ただのメモ

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調和解析(リトルウッド-ペイリー理論)

  • こちらのの一部をまとめる。
  • 実解析とは、関数の性質を調べる数学のこと、とする。
  • 関数の性質を捨象した概念の1つに、バナッハ空間というものがある。バナッハ空間というのは、ノルム空間であり、各コーシー列に対して、Vの適当な元を選べば、 lim_{n \rightarrow \infty} = vと出来るような空間。
  • バナッハ空間には、その台となる線型空間の係数体によって色々で、実バナッハ空間や複素バナッハ空間がある。
  • ちなみに、ノルムとは、1)独立性(0なら0)、2)斉次性(位相体K上のベクトル空間Vを考えた時、 a \in K, \quad v \in V, \quad ||a\cdot v|| = |a|\cdot ||v||となること。)3)劣加法性(気持ちは三角不等式)  
  • 気持ち的には、関数とか、連続的なものを考えたいから、コーシー列の収束性を議論しつつ、さらに、関数の値についての議論もしたいから、ノルムをつけた。(内積まではいらん)ということか。一応、バナッハ空間も実解析の範疇に含まれる。
  • 実解析では、関数の性質を研究する。大概は微分積分。でも両者を別物としてみる。
  • 調和解析の道具は、停止時刻。カルデロン-ジグムンド分解。弱型空間。分布等式。リトルウッド-ペイリー理論。

ということで、調和解析の主に、リトルウッド-ペイリー理論を見ていくとしよう。そこで、コードも書きつつ理解を深めたい。

  • ミンコフスキーの不等式。Nを自然数として、長さN+1の数列をベクトルとして、lpノルムを用意する。ミンコフスキーの不等式とは、 ||a+b||_{l^p} \leq = ||a||_{l^p} + ||b||_{l^p}。気持ち的には三角不等式の強化版。
  • import math

    def LP_NORM(ap):
      ans = 0
      for i in range(len(a)):
        ans += math.abs(a[i])**p 
      return ans**(1/p)
  • それの変形版で、ヘルダーの不等式。 \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1で、 ||ab||_{l^1} \leq ||a||_{l^p} + ||b||_{l^q}
  • 双対性。任意の数列aに対して、abの成分が正で、 ||b||_{l^q} = 1, \quad ||a||_{l^p}= ||ab||_{l^1}
  • 分布等式。 ||a||_{l^p}^p = \Sigma_{l=0}^\infty # \{0 \leq n \leq N : |a_n| \geq l^{\frac{1}{p}}\}、区切り方を変えただけ。
  • 補間不等式。L1とL2から 1<p<2の不等式を得る理論を補間理論という。

ここからが、リトルウッド-ペイリー理論。

  • l2ノルムに対するリトルウッド-ペイリー理論。
  • def g(k,a,n,N):
      if 0 < k <= N:
        I_minus = sum([a[i] for i in range(2**(N+1)) if 2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(-1)) <= i < 2**k *(int(n*(2**(-k)))+1)])
        I_plus = sum([a[i] for i in range(2**(N+1)) if 2**k *int(n*(2**(-k))) <= i < 2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(-1))])
        #I_minus = sum([a[i] for i in range(2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(k-1)),2**k *(int(n*(2**(-k)))+1))])
        #I_plus = sum([a[i] for i in range(2**k *int(n*(2**(-k))),2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(-1)))])
        return 1/(2**k) * (I_plus - I_minus)
      elif k == 0:
        return 1/(2**N) * (sum(a[0:2**N]))

    def G2(anN):
      ans1 = 0
      for i in range(N+1):
        ans1 += g(i, a, n, N)**2
      return ans1

    def LittleWood2(aN):
      ans2 = 0
      for i in range(2**N):
        ans2 += G2(a, i, N)
      return ans2 
     
    a = [for i in range(1024)]

    l2_norm = LP_NORM(a,2)**2
    lw = LittleWood2(a,10)
    print(l2_norm, lw)
     
    357389824.00000006 357389824.0
  • ということで、L2ノルムとリトルウッド-ペイリー変換によって得られたものが等しいことがわかる。任意の自然数Nに対して、 ||a||_{l^2} = ||g(a)(n)_{n=0}^{2^N-1}||_{l^2}
  • 同様にして、L1ノルムやLpノルムに対してもこの理論を構築する話がある。
  • L1ノルムの場合は、和を取るのではなく、チェビシェフの不等式を用いて、ノルムがλ以上の要素の数が、 \lambda^{-1} \Sigma_{n=0}^{2^N-1}で抑えられるというものを利用して作っていく。
  • その際に弱L1ノルム(全ての \lambda >0に対して、 \lambda # \{n= 0,1,\cdots, 2^N-1: |a_n| >\lambda\}\leq Mが成り立つようなMの最小値)を使う。弱型空間とは、通常の(数列)空間からそれに対応する分布を考え、それから得られる新しい空間をいう。
  • もう一つ出てくるのが、カルデロン-ジグムンド分解である。前のコードのI(j,k)の形をした集合で、そこでの絶対値の平均がλを超すものの合併をEとすると、定理 \lambda >0に対して、 #(E) \leq \lambda^{-1} ||a||_{l^1}
  • そこから、L1ノルムに対するリトルウッド-ペイリー理論が構成できる。 E_\lambda = \{0 \leq j \leq 2^N-1 : g(a)(j) >\lambda\} #(E_\lambda) \leq 3 \lambda^{-1}||a||_{l^1}
  • かなり飛ばすが、結局まとめると、 1<p<\inftyのとき、適当に1以上の定数Cpがあり、全ての a\in l^pに対して、 C_p^{-1} ||a||_{l^p} \leq ||g(a)||_{l^p} \leq C_p||a||_{l^p}が成り立つ。
  • 応用例として、写像Cで数列aを移しても、 ||Ca||_{l^p}\leq C_p^2||a||_{l^p}というように、ある定数で抑えられる。このような写像作用素のこと)を、有界作用素という。これは調和解析において頻出するらしい。
  • 調和解析の問題として、n次元空間におけるフーリエ変換について、その積分の収束性についての議論が研究されている。

これ以上は突っ込まないことにする。

バイバイ!