調和解析（リトルウッド-ペイリー理論）

こちらの本の一部をまとめる。
実解析とは、関数の性質を調べる数学のこと、とする。
関数の性質を捨象した概念の1つに、バナッハ空間というものがある。バナッハ空間というのは、ノルム空間であり、各コーシー列に対して、Vの適当な元を選べば、 $lim_{n \rightarrow \infty} = v$ と出来るような空間。
バナッハ空間には、その台となる線型空間の係数体によって色々で、実バナッハ空間や複素バナッハ空間がある。
ちなみに、ノルムとは、1）独立性（0なら0）、2）斉次性（位相体K上のベクトル空間Vを考えた時、 $a \in K, \quad v \in V, \quad ||a\cdot v|| = |a|\cdot ||v||$ となること。）3）劣加法性（気持ちは三角不等式）
気持ち的には、関数とか、連続的なものを考えたいから、コーシー列の収束性を議論しつつ、さらに、関数の値についての議論もしたいから、ノルムをつけた。（内積まではいらん）ということか。一応、バナッハ空間も実解析の範疇に含まれる。
実解析では、関数の性質を研究する。大概は微分と積分。でも両者を別物としてみる。
調和解析の道具は、停止時刻。カルデロン-ジグムンド分解。弱型空間。分布等式。リトルウッド-ペイリー理論。

ということで、調和解析の主に、リトルウッド-ペイリー理論を見ていくとしよう。そこで、コードも書きつつ理解を深めたい。

ミンコフスキーの不等式。Nを自然数として、長さN+1の数列をベクトルとして、lpノルムを用意する。ミンコフスキーの不等式とは、 $||a+b||_{l^p} \leq = ||a||_{l^p} + ||b||_{l^p}$ 。気持ち的には三角不等式の強化版。
import math

def LP_NORM(a, p):

  ans = 0

  for i in range(len(a)):

    ans += math.abs(a[i])**p

  return ans**(1/p)
それの変形版で、ヘルダーの不等式。 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ で、 $||ab||_{l^1} \leq ||a||_{l^p} + ||b||_{l^q}$ 。
双対性。任意の数列aに対して、abの成分が正で、 $||b||_{l^q} = 1, \quad ||a||_{l^p}= ||ab||_{l^1}$
分布等式。 $||a||_{l^p}^p = \Sigma_{l=0}^\infty ＃ \{0 \leq n \leq N : |a_n| \geq l^{\frac{1}{p}}\}$ 、区切り方を変えただけ。
補間不等式。L1とL2から $1＜p＜2$ の不等式を得る理論を補間理論という。

ここからが、リトルウッド-ペイリー理論。

l2ノルムに対するリトルウッド-ペイリー理論。
def g(k,a,n,N):

  if 0 < k <= N:

    I_minus = sum([a[i] for i in range(2**(N+1)) if 2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(-1)) <= i < 2**k *(int(n*(2**(-k)))+1)])

    I_plus = sum([a[i] for i in range(2**(N+1)) if 2**k *int(n*(2**(-k))) <= i < 2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(-1))])

    #I_minus = sum([a[i] for i in range(2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(k-1)),2**k *(int(n*(2**(-k)))+1))])

    #I_plus = sum([a[i] for i in range(2**k *int(n*(2**(-k))),2**k *(int(n*(2**(-k)))+2**(-1)))])

    return 1/(2**k) * (I_plus - I_minus)

  elif k == 0:

    return 1/(2**N) * (sum(a[0:2**N]))

def G2(a, n, N):

  ans1 = 0

  for i in range(N+1):

    ans1 += g(i, a, n, N)**2

  return ans1

def LittleWood2(a, N):

  ans2 = 0

  for i in range(2**N):

    ans2 += G2(a, i, N)

  return ans2

a = [i for i in range(1024)]

l2_norm = LP_NORM(a,2)**2

lw = LittleWood2(a,10)

print(l2_norm, lw)

357389824.00000006 357389824.0
ということで、L2ノルムとリトルウッド-ペイリー変換によって得られたものが等しいことがわかる。任意の自然数Nに対して、 $||a||_{l^2} = ||g(a)(n)_{n=0}^{2^N-1}||_{l^2}$
同様にして、L1ノルムやLpノルムに対してもこの理論を構築する話がある。
L1ノルムの場合は、和を取るのではなく、チェビシェフの不等式を用いて、ノルムがλ以上の要素の数が、 $\lambda^{-1} \Sigma_{n=0}^{2^N-1}$ で抑えられるというものを利用して作っていく。
その際に弱L1ノルム（全ての $\lambda ＞0$ に対して、 $\lambda ＃ \{n= 0,1,\cdots, 2^N-1: |a_n| ＞\lambda\}\leq M$ が成り立つようなMの最小値）を使う。弱型空間とは、通常の（数列）空間からそれに対応する分布を考え、それから得られる新しい空間をいう。
もう一つ出てくるのが、カルデロン-ジグムンド分解である。前のコードのI(j,k)の形をした集合で、そこでの絶対値の平均がλを超すものの合併をEとすると、定理 $\lambda ＞0$ に対して、 $＃(E) \leq \lambda^{-1} ||a||_{l^1}$
そこから、L1ノルムに対するリトルウッド-ペイリー理論が構成できる。 $E_\lambda = \{0 \leq j \leq 2^N-1 : g(a)(j) ＞\lambda\}$ 、 $＃(E_\lambda) \leq 3 \lambda^{-1}||a||_{l^1}$
かなり飛ばすが、結局まとめると、 $1＜p＜\infty$ のとき、適当に1以上の定数Cpがあり、全ての $a\in l^p$ に対して、 $C_p^{-1} ||a||_{l^p} \leq ||g(a)||_{l^p} \leq C_p||a||_{l^p}$ が成り立つ。
応用例として、写像Cで数列aを移しても、 $||Ca||_{l^p}\leq C_p^2||a||_{l^p}$ というように、ある定数で抑えられる。このような写像（作用素のこと）を、有界作用素という。これは調和解析において頻出するらしい。
調和解析の問題として、n次元空間におけるフーリエ変換について、その積分の収束性についての議論が研究されている。

これ以上は突っ込まないことにする。

バイバイ！