ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

ベルトラン=チェビシェフの定理

ベルトラン・チェビシェフの定理なるものがある。

ここを出発点に記事を書いてみる。

始めましょうか

  • ベルトラン=チェビシェフの定理のwiki
    • 任意の自然数nに対して、n<p<=2nを満たす素数pが存在する
  • 証明の概略
  • 要するに、
    • step 1
      • 2nCnの下限をもとに不等式を作っていく(補題1)
    • step 2
      • Pnの上限を、2nCnの上限をもとに不等式を作っていく(補題2,3,4)
    • step 3
      • 2nCnに含まれる素数の数を考える(補題5,6)
    • step 4
      • 仮定(n<p<=2nを満たす素数pが不在)とstep 3を使って pの範囲絞り込み
      • 2nCn をPnの形を用いて表し、step 2を使って、上限となる式を作る
      • step 1とそれを組み合わせて、nに関する不等式を得る。
    • step 5
      • nの関数の形から不等式が成り立たない範囲を決める。
      • 成り立つ範囲でも、そのような素数pが存在することを確認
      • これで証明終了

証明の仕方が面白い。