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Balanced集合

Balanced集合

Balanced set - Wikipedia

  • 定義
    • Xを体K上でのベクトル空間とする
    • Sを集合、aをスカラー、Bを体の部分集合。
    •  aS = \{ as : s \in S \}
    •  BS = \{ bs : b \in B, s \in S \}
    •  B_r = \{ a \in \mathbb{K} : |a| <r \}
    •  B_{\leq r} = \{ a \in \mathbb{K} : |a|  \leq r \}
      • それぞれ、開球、閉球となっている。
    • Xの部分集合SがBalanced集合であるとは、以下のどれかを満たすこと
      •  \forall s \in S, \forall a, |a| \leq 1, as \in S 
        • これが一番重要
      • aのノルムが1以下である時、 aS \subset S or aS = Sが常に成り立つ
      •  B_{\leq 1}S \subset S
      •  B_{\leq 1}S = S
      • 他にもいろいろある。
  • 例えば、
    • ∅は、balanced集合
    • 実ベクトル空間の部分ベクトル空間は、Balanced集合
    • 複素ベクトル空間の部分ベクトル空間は、Balanced集合
    • ノルム付きベクトル空間での、開球、閉球は、Balanced集合
  • ここで、Balanced集合以外の言葉もまとめて見る。
  • Balanced hull
    • Xの部分集合SでのBalanced hullとは、Sを含むBalanced部分集合の、共通部分
    • 包含関係で最小の、Sを含むXのBalanced部分集合であることと、同値。
  • Balanced Core
    • Balanced hullの文での、「共通部分」を「和集合」に変えれば良い。
    • 包含関係で最大。