ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

部分空間

  • 我々の見ているものは、結局何かの一部でしかない。
  • 全部は出来ないし、全部は知れない。
    • 全部知ったという保証はない。
  • 我々の見ている部分とやらが、どんな部分かを知ることで、その母なる全体が見えてくる、ということはあるだろうか。
    • 木を見ると森が見える。
    • 一部の人を診察すると、その家族の診察になる?
      • 遺伝性疾患とかは近しい
  • 生物という名の部分空間
    • 全体の空間は?
      • 物質
      • それより子で、生物より母な空間は?
  • 部分空間についてまとめる。数学方面の話。
    • 部分位相空間こちら
      • 位相空間Xの部分集合で、Xの位相が備わっているもの
        • 位相空間とは、こちら
          • 近傍からの定義
            • 近傍はその点を含む部分集合
            • 2つの近傍の重なりは近傍
            • 近傍は、部分を含む
              • わかりにくい
              • 大きな近傍は小さい近傍を含み、小さな近傍の各点に対する近傍となっている
          • 開集合からの定義
            • ∅と全体は、τに属する
            • τの要素同士の合併はτに属する
            • τの要素の有限回の重なりはτに属する
        • 部分位相空間とは、(X,τ)を位相空間として、
          • Xの部分集合Sで、
          • τの任意の部分集合Uに対してSとの重なりを集めた集合を位相とするもの
        • 部分位相空間の持つ性質
    • 線形部分空間。こちら
      • 有限体上のベクトル空間
        •  F_5
          • 6つの一次元部分空間
      • 体K上のベクトル空間V、WがVの部分集合で
      • Wが線形部分空間であるとは、
        • V上での操作で、WがK上のベクトル空間である。
      •  \alpha, \beta \in K , \alpha w_1 + \beta w_2 \in W
        • ベクトル同士の足し算しても含まれてて
        • ベクトルと体上の数をかけても、含まれる
      • 連続関数から構成される部分集合 \in \mathbb{\mathbb{R}}
      • 微分可能な関数。
      • 直交座標系
      • 肝は、足すことと、何かを掛けても、どっちにしろ許されること。
        • 線形重ね合わせ
      • 写像の核を、もとの空間の部分空間として考える。ここでは、線形写像を考える。
        • 核が同じであるとは、ただ、関数同士がスカラー倍の関係にあるときにかぎる
    • アフィン部分空間
      • アフィン空間。こちら
        • 集合Aとそれに備わるベクトル空間がある。
          • ベクトルが可換群
        • 詳しく
          • ベクトルについて、零元
          • ベクトルについて結合則
          • ベクトルから点とベクトルの和への写像が、全単射
      • アフィン部分空間は、
        • アフィン空間の部分集合で、その要素同士の差が、もとのベクトル空間の線形部分空間であるもの
        • 線形部分空間は、方向と呼ばれる
        • 同じ方向を向いてるアフィン部分空間は、平行と呼ばれる。
    • 射影部分空間
      • 射影平面
        • 平行線が遠くで交わるように見える。
        • 視覚は射影幾何で考える方が良い?
      • 射影平面は今学習中なので、今はそっとしておく。
    • まとめると、○○部分空間とは、もとの部分集合で、もとの(空間的)構造を保持しているもの。(だし、何も余分なものを足していない)
  • 遊んでみる。
  •  int(5 sin(2 \pi x))を考えてみる。
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
T = 1000000
import math 
x = [for i in range(T)]
y = [int(5*math.sin(i))%5 for i in range(T)]
z = [int(5*math.sin(2*math.pi*i/T))%5 for i in range(T) ]
# figureを生成する
fig = plt.figure()
# axをfigureに設定する
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
# axesに散布図を設定する
ax.scatter(x, y, s=0.1, c='b')
# 表示する
plt.show()
#print([y.count(i) for i in range(5)])
print([z.count(i) for i in range(5)])
  • 次は、3次関数で現れる軌跡を考える。
    • ただし、5で割った余りで同一視。
  • 次は、一変数多項式で、5で割った余りで同一視する。
ans = 
for a in range(5):
  for b in range(5):
    for c in range(5):
      for d in range(5):
        ans.append([(a*x**3+b*x**2+c*x+d)%5 for x in range(5)])
ans.sort()
z = 
for i in ans:
  g = 0
  for j in range(5):
    g+= i[j]*10**(4-j)
  z.append(g)
w = []
for a in range(5):
  for b in range(5):
    for c in range(5):
      for d in range(5):
        for e in range(5):
          w.append(a*10**4+b*10**3+c*10**2+d*10+e)
n = 0
for q in w:
  if q in z:
    pass
  else:
    print(q)
    n+=1
else:
  print(n)
 
#2500(=3125-625)
  • 意外と覆えない事に気づく。多項式が拾える特徴、拾えない特徴がある
    • というよりか、どの多項式も軌跡が被っていない。
    • 同じ多項式ではないから、当たり前のようだが、5で割った余りを同一視しても、成立する。
      • これは素数だからだろうか。。。

 

バイバイ!