部分空間

• 我々の見ているものは、結局何かの一部でしかない。
  • B'zの曲がある。こちら。
• 全部は出来ないし、全部は知れない。
  • 全部知ったという保証はない。
• 我々の見ている部分とやらが、どんな部分かを知ることで、その母なる全体が見えてくる、ということはあるだろうか。
  • 木を見ると森が見える。
    • フラクタル？
  • 一部の人を診察すると、その家族の診察になる？
    • 遺伝性疾患とかは近しい
• 生物という名の部分空間
  • 全体の空間は？
    • 物質
    • それより子で、生物より母な空間は？
• 部分空間についてまとめる。数学方面の話。
  • 部分位相空間。こちら。
    • 位相空間Xの部分集合で、Xの位相が備わっているもの
      • 位相空間とは、こちら。
        • 近傍からの定義
          
          • 近傍はその点を含む部分集合
          • 2つの近傍の重なりは近傍
          • 近傍は、部分を含む
            • わかりにくい
            • 大きな近傍は小さい近傍を含み、小さな近傍の各点に対する近傍となっている
        • 開集合からの定義
          • ∅と全体は、τに属する
          • τの要素同士の合併はτに属する
          • τの要素の有限回の重なりはτに属する
      • 部分位相空間とは、(X,τ)を位相空間として、
        • Xの部分集合Sで、
        • τの任意の部分集合Uに対してSとの重なりを集めた集合を位相とするもの
      • 部分位相空間の持つ性質
        • 位相空間から、集合Xへの写像、集合Yへの写像
        • YとXには包含関係がある
          • Yの方が小さい
        • 位相空間からYへの写像が連続である、とは、ただ、その写像が包含写像との合成が連続であるとき。
  • 線形部分空間。こちら。
    • 有限体上のベクトル空間
      • 
        • 6つの一次元部分空間
    • 体K上のベクトル空間V、WがVの部分集合で
    • Wが線形部分空間であるとは、
      • V上での操作で、WがK上のベクトル空間である。
    • 
      • ベクトル同士の足し算しても含まれてて
      • ベクトルと体上の数をかけても、含まれる
  • 例
    • 連続関数から構成される部分集合
    • 微分可能な関数。
    • 直交座標系
    • 肝は、足すことと、何かを掛けても、どっちにしろ許されること。
      • 線形重ね合わせ
    • 写像の核を、もとの空間の部分空間として考える。ここでは、線形写像を考える。
      • 核が同じであるとは、ただ、関数同士がスカラー倍の関係にあるときにかぎる
  • アフィン部分空間
    • アフィン空間。こちら。
      • 集合Aとそれに備わるベクトル空間がある。
        • ベクトルが可換群
      • 詳しく
        • ベクトルについて、零元
        • ベクトルについて結合則
        • ベクトルから点とベクトルの和への写像が、全単射
    • アフィン部分空間は、
      • アフィン空間の部分集合で、その要素同士の差が、もとのベクトル空間の線形部分空間であるもの
      • 線形部分空間は、方向と呼ばれる
      • 同じ方向を向いてるアフィン部分空間は、平行と呼ばれる。
  • 射影部分空間
    • 射影平面
      • 平行線が遠くで交わるように見える。
      • 視覚は射影幾何で考える方が良い？
    • 射影平面は今学習中なので、今はそっとしておく。
  • まとめると、○○部分空間とは、もとの部分集合で、もとの（空間的）構造を保持しているもの。（だし、何も余分なものを足していない）
• 遊んでみる。
• を考えてみる。

%matplotlib inline

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

T = 1000000

import math 

x = [i for i in range(T)]

y = [int(5*math.sin(i))%5 for i in range(T)]

z = [int(5*math.sin(2*math.pi*i/T))%5 for i in range(T) ]

# figureを生成する

fig = plt.figure()

# axをfigureに設定する

ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

# axesに散布図を設定する

ax.scatter(x, y, s=0.1, c='b')

# 表示する

plt.show()

#print([y.count(i) for i in range(5)])

print([z.count(i) for i in range(5)])

• 次は、3次関数で現れる軌跡を考える。
  • ただし、5で割った余りで同一視。
• 次は、一変数多項式で、5で割った余りで同一視する。

ans = 

for a in range(5):

  for b in range(5):

    for c in range(5):

      for d in range(5):

        ans.append([(a*x**3+b*x**2+c*x+d)%5 for x in range(5)])

ans.sort()

z = 

for i in ans:

  g = 0

  for j in range(5):

    g+= i[j]*10**(4-j)

  z.append(g)

w = []

for a in range(5):

  for b in range(5):

    for c in range(5):

      for d in range(5):

        for e in range(5):

          w.append(a*10**4+b*10**3+c*10**2+d*10+e)

n = 0

for q in w:

  if q in z:

    pass

  else:

    print(q)

    n+=1

else:

  print(n)

 

#2500(=3125-625)

• 意外と覆えない事に気づく。多項式が拾える特徴、拾えない特徴がある
  • というよりか、どの多項式も軌跡が被っていない。
  • 同じ多項式ではないから、当たり前のようだが、5で割った余りを同一視しても、成立する。
    • これは素数だからだろうか。。。

バイバイ！