ただのメモ

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頂点作用素代数に入門する。

頂点作用素代数が気になったので、まとめる。

こちらのサイトをまずまとめる。

  • 2つの分野から発端がある。
    • 1)共型場理論と呼ばれる物理の理論で、その共型場理論のモデルの数学的公理化として現れる。共形場理論とは、共形変換に対して、作用が不変な場の理論のtこと。共形変換とは、等角写像のこと。
    • 2)群論から、モンスター群と保型形式の2つの間に見つかった関係の解決に向けて作られた代数。
  • 頂点作用素代数は未解決問題も多く、構造や表現論について研究がされている。
  • 頂点作用素の表現論と数理現象のつながりとして、ムーンシャイン現象がある。ムーンシャイン現象とは、モンスターと呼ばれる群と、J(τ)という保型関数フーリエ係数(フーリエ変換した時の重み付け係数)の間の不思議な関係がある、という現象。
  • モンスターとは、散在型有限単純群と呼ばれる群のうち、一番位数の大きい群。
  • J(τ)とは、有名な楕円保型関数
  • 頂点作用素代数は演算を持ち、演算が無限個あり、演算たちが複雑な関係式を満たしている。リー代数や群、環の理論など多くの分野の考え方を採用する。でも、そのままは使えないので、新しい発見がいる。そこが面白いようだ。

次に頂点作用素代数について具体的に見ていく。

これの一部を参考にする。

  • 頂点代数と頂点作用素代数
    • 頂点代数の概念は共形ベクトルと共に導入された。
    • 頂点代数とは、ある集合上に真空と呼ばれる元があり、可算個の積が与えられ、それらの積がBorcherds恒等式や真空元に関する公理を満たす。
    • 共形ベクトルは、頂点代数の中のある性質を満たす元のこと。
      1. あるスカラー c \in \mathbb{C}が存在して、Virasoro関係式を満たす
      2. 任意の b \in Vに対して a(0)b = b(-2)を満たす
      3. 作用素 a(1)は対角化可能で、固有空間を V = \bigotimes_{n \in \mathbb{N}} V_nとして分解した時、各固有空間 V_nは有限次元で、 V_0 = \mathbb{C}1が成立。
    • 頂点作用素代数とは、頂点代数と共形ベクトルの組のこと。
  • 頂点作用素代数の間の射と自己同型
    • 2つの頂点代数があった時、線形写像が、
      •  f(1) = 1
      •  f(a(n)b) = f(a)(n)f(b)を任意の a,b \in Vで満たす
    • ならば、頂点代数の準同型写像という。
    • VからWへの頂点代数の準同型で、共形ベクトルを f(a) =bと移すものを、頂点作用素代数の準同型という。
    • 頂点代数、頂点作用素代数の自己同型のなす群をそれぞれ、AutV、Aut(V,a)、で表す。
  • 自己双対性と共形ベクトルのなす集合。
    • 許容加群、双対加群加群として同型、という言葉が出てくる。
    • 難しい(感触がする)ので、言葉だけ身に着ける。
    • まず、許容加群は後回し
    • 双対加群とは、(こちらの動画を参考)
      • Rを可換環として、R加群Mに対して、 M^{*} = Hom_R(M,R)(Mを定義域、Rを値域とする線形写像の全体)を、その双対という。
      • Rが体のとき、Mが有限次元ベクトル空間なら、Mの双対とMは同型で、2階双対はMは自然に同型
      • 体でない可換環の場合、写像 M \rightarrow M^{**}は定義できる。これが同型なら、Mは反射的
      • 加群Xについて、 Hom_R(M,X)は、MのX双対という。
    • 加群として同型とは、

こちらの冒頭をまとめる。

  • 頂点作用素代数は、 (V,Y,1,\omega^V)の四つ組で定義される、可算無限個の積を持つ代数系
    • Vは複素数体上の(無限次元)ベクトル空間
    • Yは Y(a,x) = \Sigma_{n\in \mathbb{Z}}a_{(n)}x^{-n-1} \in End(V)[[x,x^{-1}]]でえられる、VからEnd(V)x,1/xへの線形写像
      • Endは、自己準同型を表す。自分からそれ自身に対する準同型。記号については、こちら
      • ちなみに、 a_{(n)}b = a_{(n)}(b)
      • さらに、実際は、 a_{(n)}b = 0、n>>0を満たすと仮定して、さらに、Borcherds恒等式を満たすと仮定する
    • 1は真空元と呼ばれ、 Y(1,x) = id_Vを満たす。
    •  \omega^Vは、Virasoro元といu
      • 任意の整数m,nについて、 [ \omega_{(m+1)}^V,\omega_{(n+1)}^V] = (m-n) \omega_{(m+n+1)}^V + \frac{m^3 -m}{12} c_V \delta_{m+n,0}id_V

これ以上は難しいので、今はパスとする。

バイバイ!