ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

"Manifolds, Lie Groups, Lie Algebra, with Applications"

  • こちらの文献をまとめる。
  • 始めましょうか
  • 動機
    • 対象の集合は、共通の性質をもっていることがある。
      • 位相構造
        • 互いに近いかどうか
      • 距離
        • あると便利
          • 分類、比較
    • 時々、対象の集合は、ベクトル空間( mathbb{r}^n
      • うれしい
    • そんなことはあんまりない
      • 大概、局所的に集合は、n次元ユークリッド空間のよう
      • さらに、各点で、接空間が定まる。
      • これが、多様体
    • もしラッキーなら、要素同士の掛け算が出来る。
      • 群の構造もある
    • 多様体の構造と、群の構造が、良い感じに調和している。
    • 原点を通る直線は、単位円と2回交わる
    • 上半円は、X軸を除き、1個の交点を持つ。
    • Antipodal point対蹠点
      • 対蹠点同士をくっつける
      • すると、円になる。
        • 射影直線
    • 直線を、単位円上の2点と見なして、その2点を同一視する(上半円上の点とする、ただし、X軸上なら(1,0))
    • 3次元に拡張する。
    • すると、上半球面を考える。
      • 境界の円の対蹠点同士を結ぶ。
        • 図示しにくい
      • 射影平面
        •  \mathbb{RP}^2
      • Cross-cap。こちら
      • Steiner roman surfaceこちら
        • 球面上の点を、(xy、yz、zx)に対応させる。
          • 正四面体と関連がある。
          • 頂点がでっぱりと、薄い部分が辺の中点と、3重点が重心と対応する。
      • Boy surface
      • 向きつけ不可能
    • 対称的正定値行列(Symmetric Positive Definite Matrices)
      • 拡散テンソル磁気共鳴イメージング
        • 3次元対称正定値行列を生み出す。
        • 脳イメージング
          • 白質の線維を追いかけるのに使う
          • 水が拡散しやすい方向が、線維の向きと一致する。
        • 脳の病理と一致させる。
          • 脳の結合性を考える
          • イメージングのデータからとれる特徴が、どれほど、病気と関係があるか、
            • これは統計の問題
        • 対称正定値行列の空間は、ベクトル空間ではない。
          • 標準的な統計の手法が使えない
            • LASSOとかある
        • 対称的で、固有値が全て正なら、SPD(n)
        • イデアルが作れる
          • GL(n)は、行列式が非ゼロなやつ
            • 体上の線形写像全体のうち(全体像の把握)、全単射写像全体が写像の合成に対してなす群
            • 一般線型群については、こちら
              • ベクトル空間にも同一視の考えを入れることで考えられる。

確認

import numpy as np

s = np.array([[1,3],
              [3,10]])
a = np.array([[3,4],
              [2,1]])
ans = np.dot(a,s)
ans = np.dot(ans,a.T)
print(ans)[[241 79] [ 79 26]]
    • 表現論との関係
    • 正中線
      • 骨など、形の真ん中を考える。
      • 真ん中の点なのか、真ん中の線なのか。
      • かくかくしたもの、ぎざぎざしたものの真ん中とは、???
      • 真ん中、という表現は、リー群と関わる。
    • 二次元の形
      • 閉じた
      • 等質空間。こちら
        • Xが圏Cの対象なら、G-空間の構造は、圏Cの対象Xの自己同型射の群の中への準同型写像
      • あとは、この後のスライドで触れるみたいなので、今は触れないでおく(知識(体力ともいう)が足りない)
  • お絵描きする。
    • Steiner’s Roman曲面

 

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


# データ生成していく、u,vで2つの自由度持たせている。
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10000)
v = np.linspace(0, np.pi, 10000)
#numpy.outerを使っているのは、u,vの2つの自由度を持たせたら、行列になる。
#なので、行列を作るために、2つのリスト(ベクトル)の外積を取った
x = 10 * np.outer(np.cos(u), np.sin(v))
y = 10 * np.outer(np.sin(u), np.sin(v))
z = 10 * np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))
#表面を表示する・プロットしていく
fig = plt.figure(figsize=(8,8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d',facecolor="w")
ax.plot_surface(x*y, y*z, z*x,cmap="plasma")
#plt.savefig("3d_ball.jpg",dpi=120)
ax.set_title("Steiner's Roman Surface",size =20,color= "blue")
plt.show()

 

f:id:medical-science:20220213182429p:plain

バイバイ!