"Manifolds, Lie Groups, Lie Algebra, with Applications"

• こちらの文献をまとめる。
• 始めましょうか
• 動機
  • 対象の集合は、共通の性質をもっていることがある。
    • 位相構造
      • 互いに近いかどうか
    • 距離
      • あると便利
        • 分類、比較
  • 時々、対象の集合は、ベクトル空間（
    • うれしい
  • そんなことはあんまりない
    • 大概、局所的に集合は、n次元ユークリッド空間のよう
    • さらに、各点で、接空間が定まる。
    • これが、多様体
  • もしラッキーなら、要素同士の掛け算が出来る。
    • 群の構造もある
  • 多様体の構造と、群の構造が、良い感じに調和している。
    • Lie群
• 例
  • 原点を通る直線は、単位円と2回交わる
  • 上半円は、X軸を除き、1個の交点を持つ。
  • Antipodal point対蹠点
    • 対蹠点同士をくっつける
    • すると、円になる。
      • 射影直線
  • 直線を、単位円上の2点と見なして、その2点を同一視する（上半円上の点とする、ただし、X軸上なら（１，０））
  • 3次元に拡張する。
  • すると、上半球面を考える。
    • 境界の円の対蹠点同士を結ぶ。
      • 図示しにくい
    • 射影平面
      • 
    • Cross-cap。こちら。
    • Steiner roman surface。こちら。
      • 球面上の点を、（xy、yz、zx）に対応させる。
        • 正四面体と関連がある。
        • 頂点がでっぱりと、薄い部分が辺の中点と、3重点が重心と対応する。
    • Boy surface
    • 向きつけ不可能
      • 表裏とかわからん
        • メビウスの帯
  • 対称的正定値行列（Symmetric Positive Definite Matrices）
    • 拡散テンソル磁気共鳴イメージング
      • 3次元対称正定値行列を生み出す。
      • 脳イメージング
        • 白質の線維を追いかけるのに使う
        • 水が拡散しやすい方向が、線維の向きと一致する。
      • 脳の病理と一致させる。
        • 脳の結合性を考える
        • イメージングのデータからとれる特徴が、どれほど、病気と関係があるか、
          • これは統計の問題
      • 対称正定値行列の空間は、ベクトル空間ではない。
        • 標準的な統計の手法が使えない
          • LASSOとかある
      • 対称的で、固有値が全て正なら、SPD(n)
      • イデアルが作れる
        • GL(n)は、行列式が非ゼロなやつ
          • 体上の線形写像全体のうち（全体像の把握）、全単射な写像全体が写像の合成に対してなす群
            • つまり、逆元と、単位元と、結合則
            • なので、行列式が非ゼロ
              • 逆元をもつため
          • 一般線型群については、こちら。
            • ベクトル空間にも同一視の考えを入れることで考えられる。

確認

import numpy as np

s = np.array([[1,3],

              [3,10]])

a = np.array([[3,4],

              [2,1]])

ans = np.dot(a,s)

ans = np.dot(ans,a.T)

print(ans)[[241 79] [ 79 26]]

• • • • • 推移的
        • 安定
          • 直交群 
        • SPDはGL/Oと全単射
  • 表現論との関係
  • 正中線
    • 骨など、形の真ん中を考える。
    • 真ん中の点なのか、真ん中の線なのか。
      • 正中線は、人体の真ん中
    • かくかくしたもの、ぎざぎざしたものの真ん中とは、？？？
    • 真ん中、という表現は、リー群と関わる。
  • 二次元の形
    • 閉じた
    • 等質空間。こちら。
      • Xが圏Cの対象なら、G-空間の構造は、圏Cの対象Xの自己同型射の群の中への準同型写像。
    • あとは、この後のスライドで触れるみたいなので、今は触れないでおく（知識（体力ともいう）が足りない）
• お絵描きする。
  
  • Steiner’s Roman曲面

%matplotlib inline

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# データ生成していく、u,vで2つの自由度持たせている。

u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10000)

v = np.linspace(0, np.pi, 10000)

#numpy.outerを使っているのは、u,vの2つの自由度を持たせたら、行列になる。

#なので、行列を作るために、2つのリスト（ベクトル）の外積を取った

x = 10 * np.outer(np.cos(u), np.sin(v))

y = 10 * np.outer(np.sin(u), np.sin(v))

z = 10 * np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))

#表面を表示する・プロットしていく

fig = plt.figure(figsize=(8,8))

ax = fig.add_subplot(111, projection='3d',facecolor="w")

ax.plot_surface(x*y, y*z, z*x,cmap="plasma")

#plt.savefig("3d_ball.jpg",dpi=120)

ax.set_title("Steiner's Roman Surface",size =20,color= "blue")

plt.show()

バイバイ！