mRNA-LNPに基づいたワクチンに対する人間の免疫応答、asymptotic expansion of Kummer's equation

  • https://link.springer.com/article/10.1007/s00285-023-01919-3#Sec16

  • 重要そうな用語をpick upしていく
    • mRNA ワクチン
      • 濃度依存性
    • 漸近解析 asymptotic analysis
    • 形質B細胞
      • 抗体産生
    • interleukin
  • どうやら、mRNA vaccineに対する応答のモデリングで、時間に対する振る舞いを調べているようだ。
  • もう少し進んでみる。
  • model summary and reduction
    • 構成要素
      • L
        • LNP, liquid nanoparticleのこと
        • m RNAワクチンを摂取する際の乗り物
        • 細胞に取り込まれて減る
        • 減衰
      • T
        • CD4陽性T細胞
      • C
        • 細胞障害性(CD8陽性)T細胞
        • ワクチン化された細胞依存的な増加
        • インターフェロンγによるヒル関数的な活性化
        • 減衰（死亡）
      • V
        • ワクチン化された細胞
        • T細胞を促進する
        • LNP依存的に増える
        • 減衰（死亡）
      • B
        • 形質B細胞
        • T細胞依存的に刺激を受ける
        • 減衰（死亡）
        • インターロイキンにヒル関数的な活性化を受ける
          • 質量作用則
      • F
        • インターフェロンγ
        • T細胞による産生
        • 減衰（分解）
        • 細胞障害性T細胞による取り込み
          • 質量作用則
      • I
        • インターロイキン
        • T細胞依存的な増加（産生）
        • B細胞による取り込み
          • 質量作用則
        • 減衰（分解）
      • A
        • IgG抗体, antibody
        • B細胞依存的に増える、産生される
        • 減衰（分解）
  • 無次元化して、モデルを縮約する。
    • 途中で、 \epsilonなる量を取り出して、それが微小であることを利用して、漸近展開をおこなう。
  • あとは、細かい作業。
  • ここで、Kummer's equationについてまとめて終わる
    • 合流超幾何関数
    • いくつかの種類がある
      • kummer's function
      • tricomi's function
      • whittaker function
      • coulomb wave function
    • Kummer's equation
      • z \frac{d^2 \omega}{d z^2} + (b-z) \frac{d \omega } {dz} - a \omega = 0
      • 2つの線形独立な解が存在する。
        • kummer's functionはその基本解の名前。
        • M(a,b,z) = \Sigma_{n= 0}^{\infty} \frac{a^{(n)} z^n}{b^{(n)} n!} = {}_1 F_1 (a;b;z)
  • 今回は、
  • 形質B細胞の濃度のODEが非線形Riccati方程式だった
    • Riccati equationとは、
    • 時間微分が、線形な項と、定数項と、２次関数的な項の和と等しい方程式
  • それを逆数変換を使って変形した。
  • ここまで、こちらのwikiにある
    • つまり、riccati equationを見たら、このように変数変換するのが鉄則のようだ。
  • さらに、変数分離っぽい変換をした。
    • こうすることで、Kummer's equationの形に持っていく。
  • そして、出来上がったものを漸近展開することで、近似的に振る舞いを扱い進める事が出来る。
    • Gamma関数などは計算でやる。