optimal control of cholera

• 低所得国の感染制御の最適化問題について
  • https://link.springer.com/article/10.1007/s11538-023-01137-4
  • まず、感染症とワクチンの問題を考える。
  • ワクチン接種を推進すると、感染者の数が減るので、感染者への対応のコストが浮いて嬉しい。
  • しかし、その分だけ、接種のためのお金がかかるので、嬉しくない。
  • 良い塩梅で、ワクチン接種をしたいけれど、どうしたら良いかを考える。
  • この時に、使える考え方が、最適制御理論だ。
  • コレラウイルスを例に取ろう。
  • まず、SIRWモデルを考える。
    • Susceptible, infected, recoveredの３つと、水からの感染ということで、waterの４つのコンパートメントからなる。
  • 次に、目的関数を考える。
    • ワクチン接種のコストと感染者への対応のコストに分けられる。
    • ワクチン接種のコスト
      • 感受性保持者数に応じた量と、ワクチン接種数に対する非線形な量の和。
    • 感染者への対応のコスト
      • 感染者数に依存する関数。
      • 感染者と感染によって亡くなった方に依存。
      • 新規感染者数の時間積分
    • 制御集合、ワクチン接種関数の空間
      • L2空間や上界、下界による条件付け
      • あるいは、可積分性、積分した値に上界を設ける。
        • この際に、新しい変数を持ってきて、この条件づけをある種の変数として扱うことによって、Hamiltonianに組み込む。
      • あとは、Pontryagin’s maximum principleを使う。
        • 目的関数と、それぞれの変数の時間発展の重み付け和
        • そして、その重みについて、重みの時間微分と、ハミルトニアンの対応する状態変数による偏微分の和が０になる。
        • 目的のワクチン接種関数は、それによるハミルトニアンの偏微分が０になる時、という条件で求められる。
          • なぜなら、他の変数については、すでに随伴する方程式によって重みや状態について求められるから。
        • 制御集合の条件づけの仕方によって、いろんなvariationがあるが、基本的な骨格は同じなので、同様の議論を展開する。
        • （Hamilton Jacobi Bellman equationなども出てくるので、関数崇拝勢にはたまらないだろう）