メモ（Burgers Equationなど） - 物理医学数学の日記

Burgers方程式なるものがある。これは非線形な偏微分方程式だが、

Cole-hopf変換で、単純な（熱）の拡散方程式に帰着する。

PDE関連の話で、Homotopyが登場したので、立ち寄る

そもそも、Homotopyは、ある位相空間Xから別の位相空間Yへと渡す、「２種類」の連続関数の間の関係を扱い、

位相空間Xと単位区間の直積を、位相空間Yへ移す写像で、

単位区間が０の時、連続関数f、単位区間における１の時、連続関数gの役割を果たすようなものだ。

要は、単位区間を移動するにつれて、連続的に別の関数に切り替わっていくものだろう。

Wikiのドーナツからコップの写像のイメージが直感的に良い。

ここで、Nullhomotopicというのは、定数関数とhomotopicであるということだ。

Nullhomotopicに関連して、Lusternik-Schnirelmann categoryというものがある。

位相空間XのLusternik-Schnirelmann categoryとは、homotopy不変量で、Xの開被覆で、それぞれの包含写像がNullhomotopicであるとき、そのような開被覆の要素数の最小整数である。

Brezis Lieb lemmaというものがある。

これは何かというと、（X,μ）が測度空間で、FnがX上の可測複素関数列でほとんど至る所で関数Fに収束する。

このときLemmaは、ある正の数pについて、|f|^pと、|fn|^p と、|f- fn|^pの関係を等式で繋いだもので、変分問題を解くときに使えるらしい。

Klein-Gordon equationなるものがある。これは、波動方程式に一次の項が追加されたもので、相対論的粒子に量子論の演算子を噛ませると、導出される式でもある。