14日間でわかる代数幾何学事始 | 海老原 円 |本 | 通販 | Amazon
忙しいので、太字だけ拾って、後は、批判的に考えて見て、納得すればいいや。
始めましょうか。
- プロローグ(いざ代数幾何の世界へ)
- 代数的集合とイデアル
- 素イデアルと極大イデアルの幾何学
- 剰余環と多項式関数
- 断章(連続性をめぐって)
- 位相空間の定義(開集合と近傍)
- 開集合の公理
- 開集合の感覚的な理解
- 悟りの世界
- 悟りに至る階梯
- 開集合の直観的イメージ
- 集合Uの任意の点xのまわりにフリースペースがあること
- 2次元ユークリッド空間内の円板
- 縁無し
- 孫悟空の誤算(世界に果てはあるか?)
- 近傍の公理
- 点xの近傍
- 近傍の直観的イメージ
- xに十分近い点を全て含んでいる集合
- 近傍の公理
- 位相空間(Xは集合、Xの任意の点xについて、近傍という部分集合の族が指定されている。+5つの条件)
- X自身はxの近傍(全体は近傍)
- Vがxの近傍ならx∊V(近傍はそれを含む)
- Vがxの近傍であり、Xの部分集合WがVを含むならWもxの近傍(近傍を含む部分集合は近傍)
- V1, V2がxの近傍なら、それらの共通部分V1⋂V2もxの近傍(近傍の重なりは近傍)
- Vがxの近傍なら、Vに含まれるxの近傍Wが存在して、Wの任意の点yに対して、Vはyの近傍(近傍の中の点の、近傍でもある)
- 近傍を全て指定すれば、点の繋がり具合を指定できる。
- 近傍の公理は、直観と相性が良い
- 近傍の公理から開集合の公理を導く
- 開集合の公理、近傍の公理のそれぞれから定義された位相空間は、同値。
- 開集合の公理から近傍の公理を導く
- まとめ
- 閉集合、アフィン空間のザリスキー位相の定義。
- ザリスキー位相の導入
- 前回のあらすじ
- 開集合の公理
- 近傍の公理
- 2つは等価
- 閉集合
- 内点・外点・境界点
- 連続関数とその零点集合
- ザリスキー位相
- 前回のあらすじ
- ザリスキー位相の性質
- 同値類と商体と有理関数
- 分数を作る(商体の考え方)
- 分数を考えること
- 整数全体の集合での割り算は時々上手くいかない
- 3/2が定義されないから
- そこで、有理数全体の集合を考える。
- 整数全体の集合での割り算は時々上手くいかない
- 整域内で常に割り算が出来るとは限らない。
- 0では割れない
- それを加味して、分母と分子を表す、直積集合を考える。
- そして、ある種の同値関係を持たせる
- 4/3と8/6は一緒です、ということ
- 分数を考えること
- 同値関係と類別
- 2つの元について、同値関係であるとは、
- 反射律、対称律、推移律が成り立つこと
- 同値類
- ある元と同値関係を持つ元からなる集合
- 同値関係による類別
- 商集合
- 同値類を全てまとめた集合
- 2つの元について、同値関係であるとは、
- 商体
- Rを整域、X=R×(R\{0})とおく
- Xの2つの元(a,b), (a',b')がab'=a'bを満たすとき同値関係にあるとする
- この同値関係による商集合を整域Rの商体という。
- 有理関数体
- 次回の予告
- 分数を作る(商体の考え方)
- 有理関数の定義域と環の局所化
- 局所化と局所環再論
- 多項式写像
- 最終回(環の世界と図形の世界)
- 前回のあらすじ
- 環の世界と図形の世界
- これまで述べられなかったこと(その1)
- これまで述べられなかったこと(その2)
- 孫悟空は世界の果ての夢を見るか?
- 最終回プラス1回(射影空間)
スキーム論だとか、射影代数多様体だとかがこの先にあるらしいが、今はここで満足しておく。なぜなら、代数幾何学に触れることが出来たからだ。