『14日間でわかる代数幾何学事始』

14日間でわかる代数幾何学事始 | 海老原　円 |本 | 通販 | Amazon

忙しいので、太字だけ拾って、後は、批判的に考えて見て、納得すればいいや。

始めましょうか。

プロローグ（いざ代数幾何の世界へ）
- はじめに
- 代数幾何（式と図形の数学）
  - 代数幾何学は多項式と多項式によって定義される図形を扱う
  - 代数と代数によって定義される幾何
- 環には関数がよく似合う
  - 単位元1をもつ可換環
  - 有理整数環、整数環、多項式環
    - 多項式全体を足し算と掛け算の2つの二項演算のある環と見なす。
    - 全体の構造を捉える。
  - 関数の集合は環になりやすい
    - 多項式も一種の関数
- 多項式は図形を定義する
  - n次元アフィン空間
    - 体を要素にとる、n個の順序付き組、からなる集合
  - 代入、値
  - 零点
    - n次元アフィン空間の要素を代入して、値が0なら、それを零点という。
  - 零点集合
    - 零点の集まり
      - 階層的に考える
  - 定義式
    - 零点集合を定める多項式
  - 代数的集合
    - 多項式環の部分集合の要素全てに対し、0を返す点の集合
    - 代数（多項式）によって、（零点の集まりとして）指定される集合のこと
  - 方程式系
    - 2つの方程式の見た目が違っても、同値かもしれない。
- 次回の予告
  - イデアル、生成元
代数的集合とイデアル
- 前回のあらすじ
  - 環、耐、多項式環、代数的集合
- 方程式系としてのイデアル
  - イデアル
    - 環Rの空でない部分集合で、
    - 足し算、引き算で閉じて
    - 環Rの任意の要素をかけても閉じる
  - 線形結合
    - 環Rの元を複数用意し、それぞれに環Rの要素をかける
  - Sで生成されたRのイデアル
    - Sの要素をIの生成元
  - 代数的な説明
  - 方程式系の本質はイデアル
- 飽和方程式系
  - 代数的集合Wを定義するイデアルのうち、包含関係に関して最大のもの
  - 方程式で飽和した状態
- 素数からの連想（次回の予告）
  - 素イデアル、極大イデアル
  - 素イデアルと極大イデアルの幾何学的意味
  - 既約
  - アフィン代数多様体＝既約な代数的集合＝これ以上解体できない代数的集合
素イデアルと極大イデアルの幾何学
- 前回までのあらすじ
  - イデアル
  - 飽和方程式系
- 素イデアルと極大イデアル
  - 素イデアル
    - 環Rのイデアルで、
    - Rと同じではなく、
    - Rの要素2つを掛けたものが、Iに含まれるなら、どちらかは必ずIの要素
      - イメージとしては、掛けたものが7の倍数なら、どっちかは（または両方が）7の倍数でしょ、ということ
      - 肝は、それを分解できた時に、性質を失ったものに2分されることはない、ということ。
      - 自己複製
    - 極大イデアル
      - 環Rのイデアル
      - Rと同じではない
      - RのイデアルJがIを含むなら、J=IまたはJ＝R
        
        包含関係で部分集合の中では、全体の次に強いやつ
      - 極大イデアルは素イデアル
- 多項式環の素イデアルと極大イデアル（幾何学的解釈）
  - 空でない代数的集合W。で、以下２つ同値
    - Wはただ一点からなる習合
    - I(W)は極大イデアル
  - 気持ちは、飽和方程式系をどんどん包含関係で大きいものにしていけば、極大イデアルになり、それは、つまり、1点が代数的集合として対応するようになる、ということ
  - 既約
    - 可約でないこと
      - 代数的集合に2つの部分集合があり、
      - それらの合併と本体が同じ
  - 代数的集合W。以下２つ同値
    - Wが既約
    - I(W)が素イデアル
  - 気持ち：素数はこれ以上分解できない数、多項式環の素イデアルはこれ以上分解できない代数的集合に対応するイデアル
  - アフィン代数多様体
    - 既約な代数的集合
  - 一点だけからなる代数的集合は既約。
  - アフィン直線
- 次回の予告
  - 剰余環、剰余群
剰余環と多項式関数
- イデアルで割るということ
  - 剰余環
    - 環Rと、RのイデアルI
    - RをIで割るとはどういうことか
    - 集合を集合で割るとは
  - イデアルの元を見たら０と思う
- 合同式と剰余類
  - ０でないものを０であると言いくるめるため
  - 合同式
  - 剰余類
    - 合同な整数全体
  - グループをひとつのものとみなす
    - 剰余類の和と積
  - イデアル(m)による整数全体の剰余環
    - 同値類の集合 $\mathbb{Z} /(m) = \{\bar{0} \cdots, \bar{m-1} \}$
- 剰余環の定義
  - イデアルIを法として合同
    - 環Rの2つの元の差がイデアルIの要素
  - 剰余類
    - イデアルIを法として合同な元全体の集合
  - イデアルを法とした剰余類の和、積
  - 剰余環
    - R/Iは環、零元、単位元あり、足し算、掛け算出来る
- まとめ（あるいは忘却の美徳）
- 素イデアルや極大イデアルによる剰余環
  - 環Rが整域
    - 2つの要素をかけて0なら、片方または両方が0。
  - Iが素イデアルであることと、R/Iが整域であることが同値
  - Iが極大イデアルであることと、R/Iが体であることが同値
- 多項式関数と剰余環
  - 多項式関数
  - イデアルI(W)の元を０とみなすのが自然
    - 同値類で考えたいから
  - 代数的集合W上の多項式関数全体のなす環は、イデアルI(W)による $R= k[ X_1 , \cdots, X_n ]$ の剰余環 $R/ I(W)$ である。
- 次回以降の予告
  - ザリスキー位相
断章（連続性をめぐって）
- 点のつながり具合（位相）
  - ザリスキー位相
  - 点の繋がり具合
    - 球面とトーラス
  - 連続的に変形
- 連続ということ
  - 近い
  - 基準
  - 不連続の否定
- 走れ論理
  - 連続(x=aで)
    - 任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、xがaからの距離δ未満なら、関数h(x)とh(a)の距離はε未満
- 距離空間
  - 木を見て森を見ず
  - 距離
  - 距離空間、距離関数、三角不等式、連続
  - 気持ち的には、距離が近さと関わり、それが連続かどうかにかかわる。近いなら近いはず、というのが連続。
- 次回以降の予告（未練無き忘却）
  - 距離は変わってしまう。
位相空間の定義（開集合と近傍）
- 開集合の公理
  - 位相空間の定義の仕方
    - 開集合の公理
    - どの部分集合が開集合か否かを全て指定する
  - 位相空間
    - 空集合とそれ自身XはXの開集合
    - Xの開集合の族に対して、その和集合はXの開集合
    - Xの開集合が二つあるとき、それらの共通部分はXの開集合
- 開集合の感覚的な理解
  - 悟りの世界
  - 悟りに至る階梯
  - 開集合の直観的イメージ
    - 集合Uの任意の点xのまわりにフリースペースがあること
    - 2次元ユークリッド空間内の円板
      - 縁無し
- 孫悟空の誤算（世界に果てはあるか？）
- 近傍の公理
  - 点xの近傍
  - 近傍の直観的イメージ
    - xに十分近い点を全て含んでいる集合
  - 近傍の公理
  - 位相空間（Xは集合、Xの任意の点xについて、近傍という部分集合の族が指定されている。＋５つの条件）
    - X自身はxの近傍（全体は近傍）
    - Vがxの近傍ならx∊V（近傍はそれを含む）
    - Vがxの近傍であり、Xの部分集合WがVを含むならWもxの近傍（近傍を含む部分集合は近傍）
    - V1, V2がxの近傍なら、それらの共通部分V1⋂V2もxの近傍（近傍の重なりは近傍）
    - Vがxの近傍なら、Vに含まれるxの近傍Wが存在して、Wの任意の点yに対して、Vはyの近傍（近傍の中の点の、近傍でもある）
  - 近傍を全て指定すれば、点の繋がり具合を指定できる。
  - 近傍の公理は、直観と相性が良い
- 近傍の公理から開集合の公理を導く
  - 開集合の公理、近傍の公理のそれぞれから定義された位相空間は、同値。
- 開集合の公理から近傍の公理を導く
- まとめ
  - 閉集合、アフィン空間のザリスキー位相の定義。
ザリスキー位相の導入
- 前回のあらすじ
  - 開集合の公理
  - 近傍の公理
  - 2つは等価
- 閉集合
  - 閉集合
    - AはXの部分集合
    - 補集合X/Aが開集合なら、AはXの閉集合
  - 閉集合の公理
    - 空集合及びX自身は閉集合
    - Xの閉集合の族について、その共通部分も閉集合
    - 2つのXの閉集合があるとき、その和集合もXの閉集合
- 内点・外点・境界点
  - 内点
    - X位相空間、AはXの部分集合
    - Aが点xの近傍である時、xはAの内点
  - 外点
    - X/Aの内点
  - 境界点
    - Aの内点でも外点でもない点
    - AもX/Aとも隣り合わせ
  - 閉集合
    - 境界点を全て含む
    - 例外なく全て、という考え
  - 開集合
    - 境界点を全く含まない
- 連続関数とその零点集合
  - 連続
    - xに十分近い点は、写像fによってf(x)に十分近い点に写される
  - 3つの同値
    - 写像fが連続
    - 任意の開集合に対して、逆像が開集合
    - 任意の閉集合に対して、逆像が閉集合
  - 連続関数
    - 連続写像 $f : X \rightarrow \mathbb{R}$
  - 零点からなる集合も、閉集合。
- ザリスキー位相
  - 代数的集合
  - 閉集合の公理
  - アフィン空間の代数的集合を閉集合とすると、アフィン空間は位相空間となる。
    - 閉集合の公理を満たす。
      - 空集合、全体が閉集合
      - 共通部分が閉集合
      - 和集合が閉集合
    - 閉集合の公理は、開集合の公理の裏返し。
    - 開集合の公理から、位相空間が定まる。
  - アフィン空間の位相を、ザリスキー位相という。
  - 多項式関数の零点集合が閉集合
ザリスキー位相の性質
- 前回までの復習
  - 開集合の公理、近傍の公理、閉集合の公理
  - n次元アフィン空間
  - 代数的集合
- ザリスキー位相の定義
  - ザリスキー位相
    - アフィン空間 $\mathbb{A}_k^n$ の代数的集合を、閉集合と見なす
    - その位相のこと
- ハウスドルフ空間でない位相空間の例としてのザリスキー位相
  - kは無限体とする、 $\mathbb{A}_k^n$ の空でない2つの開集合は必ず交わる。
  - ハウスドルフ空間
    - X位相空間、Xの任意の相異なる2点について、両方に、ある近傍が存在して、共通部分が空集合となる
    - 例：
      - 距離空間
  - kが無限体なら、n次元アフィン空間にザリスキー位相を入れたものは、ハウスドルフ空間ではない
- ザリスキー位相をさらに考察する
  - ザリスキー閉集合
  - 開集合
  - 近傍
  - 何をもって近傍とするかを決定すること自体が、位相のありさまを決める。
  - 密着性が強い
  - 局所的なことがらと大域的なことがらの結びつきが強い
- 多項式関数の連続性
  - 多項式関数
    - 多項式関数はザリスキー位相のもとで連続
- 次回以降の予告
  - 環の局所化、商体
同値類と商体と有理関数
- 分数を作る（商体の考え方）
  - 分数を考えること
    - 整数全体の集合での割り算は時々上手くいかない
      - 3／2が定義されないから
    - そこで、有理数全体の集合を考える。
  - 整域内で常に割り算が出来るとは限らない。
    - 0では割れない
  - それを加味して、分母と分子を表す、直積集合を考える。
  - そして、ある種の同値関係を持たせる
    - 4／3と8／6は一緒です、ということ
- 同値関係と類別
  - 2つの元について、同値関係であるとは、
    - 反射律、対称律、推移律が成り立つこと
  - 同値類
    - ある元と同値関係を持つ元からなる集合
  - 同値関係による類別
  - 商集合
    - 同値類を全てまとめた集合
- 商体
  - Rを整域、X=R×(R\{0})とおく
  - Xの2つの元(a,b), (a',b')がab'=a'bを満たすとき同値関係にあるとする
  - この同値関係による商集合を整域Rの商体という。
- 有理関数体
  - 多項式環k[X_1, ..., X_n]の商体を有理関数体という。
    - その元を有理関数という。
  - 商体Q(R/I(W))
    - Rは多項式環
    - I(W)はRのイデアル
    - Wが既約（2つの代数的集合の和集合にならない）であるとき、I(W)は素イデアル
    - 素イデアルによる剰余環は、整域
    - よって、Q(R/I(W))は商体
      - これをWの関数体という。k(W)と表す。
- 次回の予告
有理関数の定義域と環の局所化
- 前回のあらすじ
  - 商体、有理関数体、アフィン代数多様体上の有理関数、関数体
- 有理関数の定義域
  - 有理関数Φが上の点ｐ正則
    - ある多項式ｆ、ｇが存在
    - Φ＝ｆ/ｇと表される　かつ　ｇ（ｐ）≠0となること
  - 有理関数定義域
    - 有理関数が正則であるような点の集合
  - ｋが無限体なら、有理関数Φの定義域は稠密なザリスキー開集合
- ザリスキー開集合の稠密性
  - 多項式環Ｒの部分集合Ｓに対して、Ｓの任意の要素ｆに対して、0をとるようなアフィン空間の部分集合を、Ｖ（Ｓ）、代数的集合
  - 代数的集合を閉集合ということで、アフィン空間が位相空間となる。これが、ザリスキー位相
  - Ｘが位相空間、ＡがＸの部分集合。Ａが点ｘの近傍ならｘはＡの内点。
    - Ａの補集合の内点を外点
    - 内点でも外点でもない点を、境界点、という。
  - 外点でない点の集合を閉包という
    - Ａの閉包が全体Ｘに一致するなら、ＡはＸ内で稠密である
  - kが無限体なら、空でない任意のザリスキー開集合は稠密である。
- 命題10.1の証明
- 点Pにおける局所環
  - 点Ｐで正則な有理関数全体の集合Ｏｐ
    - 有理関数Φが正則であるとは、ある関数ｆ、ｇが存在して、Φ＝ｆ/ｇと表され、かつｇ（ｐ）≠0である
    - 実は、これは環となっている
    - 点ＰにおけるＡ＿ｋ＾ｎの局所環という
- 環の局所化
  - 環Ｒの部分集合Ｓが積閉集合
    - 単位元を含み、零元を含まない
    - a,bを含むなら、abも含む
      - 積について閉じている！
  - Ｒが整域であるとき、Ｓ＝Ｒ／｛０｝は積閉集合
  - 同値関係
    - 環Ｒ、Ｒの部分集合Ｓは積閉集合、Ｘ＝Ｒ×Ｓ、Ｘの2つの元（ｆ、ｇ）、（ｆ’、ｇ’）に対して、Ｓのある元ｓが存在して、ｓ（ｆｇ’－ｆ’ｇ）＝0を満たすとき、その2つの元を同値であると定める。
    - Ｘ/~をと表す。
      - これは環の演算が定められている
      - 積集合Ｓによる環Ｒの局所化、という。
局所化と局所環再論
- 前回のあらすじ
  - 環Ｒの積閉集合Ｓ
  - ＳによるＲの局所化
  - 局所環
- 環の準同型写像
  - 環Ｒ、Ｒ’
  - 写像Ｆ：Ｒ→Ｒ’が3つの条件満たすなら、Ｆは準同型写像
    - 単位元から単位元へ写す
    - 足して写したものは、それぞれ写して足したものと等しい
    - 掛けて写したものは、それぞれ写して掛けたものと等しい
  - 環準同型写像が、全単射なら、同型写像。
- 局所化の間の準同型写像
  - Ｒを環とし、ＳをＲの積閉集合
  - 写像ｊ：Ｒ→
    - 写像ｊは準同型写像
    - Ｒが整域ならば、ｊは単射である
- 局所環 $O_p$ 再び
- 局所と大域のはざまで
  - 有理関数全体のなす環Op、点Pにおける局所環
  - 可逆元
  - 環Rがただ1つの極大イデアルしかもたないとき、Rは局所環であるという
- 最終章の予告
多項式写像
- 多項式関数と座標環
  - 座標環
    - $\mathbb{A}_k^n$ の代数的集合W上の多項式関数全体の成す環 $k[ X_1, \cdots, X_n ] / I(W)$ をWの座標環と呼ぶ
  - 座標環がわかると、代数的集合の形がわかる
  - 関数を知ると、図形を知ることが出来る
- 多項式写像
  - 写像φ：V→Wに対して、ｍ個のｎ変数多項式φ1、・・・、φm∈Rnが存在し、Vの任意の点Pに対して、φ(P)
  - 多項式写像の合成は多項式写像
  - 多項式写像が全単射で、逆写像も多項式写像なら、同型写像である
    - 放物線と直線は同型
- k上の環とk上の準同型写像
  - kは体、Rは環
  - kからRへの準同型写像σが与えられている時、（R、σ）はk上の環という
  - k上の準同型写像
    - （R1, σ1）、（R2, σ2）をk上の環とする
    - 準同型写像α：R1→R2が、σ2＝ασ1　を満たすとき
    - k上の準同型写像という。
- 多項式関数の引き戻し
  - 代数的集合の間の多項式写像が与えられた時、それを引き戻す操作を考えることができる。
- 最終回の予告
最終回（環の世界と図形の世界）
- 前回のあらすじ
- 環の世界と図形の世界
- これまで述べられなかったこと（その1）
- これまで述べられなかったこと（その2）
- 孫悟空は世界の果ての夢を見るか?
最終回プラス1回（射影空間）
- 射影空間の定義
- 射影空間の幾何学的な意味
- 無限遠直線
- アフィン平面の点は比の値である
- 平行線は無限の彼方で交わる
- まとめ