ガロア理論の頂を踏む を読む。
最大公約数、ユークリッドの互除法
一次不定方程式で、整数解求める。
このときに、最大公約数が、整数解の存在にとって決定的。
余りの計算、剰余類
余りによって分けたクラスを、剰余類という
正六角形を回転させよう、巡回群
すべての元が一つの元で表せる群が、巡回群
位数は、群の元の数
有限群か無限群。
群が同じということ、群の同型
Z/6Zは6の剰余群、足し算に関して群
全射は全ての行き先に、行く出発点があること。
単射は全ての行き先が被らないこと。
一部の元でも群になる、部分群
2つの群から群を作る、群の直積
Z/3ZとZ/5Zを並べて書いたものは、それらの直積
演算はそれぞれの演算を並列でする
Z/pZ×Z/qZは、Z/pqZと同型
中国剰余定理
掛け算だって群になる、既約剰余類群
nと互いに素な剰余類を持ってきて、掛け算を考えると、群になる。これが既約剰余類群
Z/pZ＊は直積でかけるか、既約剰余類群の構造分析
既約剰余類群ほ、巡回群の直積と同型
有限可換群な巡回群の直積と同型
既約剰余類群の位数は、オイラー関数で表す
Z/pZ＊は巡回群である、原始根で生成
原始根とは、巾乗を計算すると、全ての既約剰余類群の元を生成できるもの。
加減乗除ができる分配法則が成り立つ集合を、体という
Z/5ZはF5という
Fp上の一次方程式はただ一つの解をもつ
Fp上での剰余の定理、因数定理
そこから、発展して、Fp係数のn次方程式f(x)＝0の解は高々n個である。
素数pの原始根は確かにある、原始根の存在証明
pか素数のとき、pには原始根が存在する。
原始根の存在と、それよって全て生成される点の二点による。
既約剰余類群を解剖する、Z/pZ＊の構造
Z/2^nZ＊は、Z/2^(n-2)Z×Z/2Zと同型
Z/p^nZ＊は、Z/p^(n-1)Z×Z/pZと同型
これら２つを利用し、前の定理、既約剰余類群を、複数の既約剰余類群に(素因数分解の要領で)分解して、さらにこの２つの道具を使うと、
既約剰余類群が、巡回群の直積と同型であることが示せる。
正三角形の対称性を調べる、二面体群
可換群、任意の2つの元に対する演算が交換可能な群
群の要素によって入れ替える、群の要素を噛ませたら郡全体なら群全体の入れ替え。部分群なら同じ要素数の部分群へうつす。
部分群から剰余群を作る、一般の剰余群
剰余類の特徴3つ。共通部分がない、元の群の元がどこかに割り当てられる、剰余類の要素全てわかる。
有限群Gの部分群H、それぞれ位数をn, n/dとおく。
Hに左/右からGの全ての元を掛けて、集合をn個作る。同じ集合でグループ分けすると、d個の位数n/dの集合たちができる。このグループは共通部分を持たない。左/右剰余類と言われる。
剰余類の個数dはGのHによる指数と言われ、[G:H]で表す。
ラグランジュの定理 |G| = [G:H]|H|
位数乗は単位元。Gを位数nの有限群とする、Gの要素gについて、g^n = e
剰余類の単位元、Hを群Gの部分群とするとき、gH = Hであることと、g がHの要素であることは同値。
立方体の対称性を調べよう、S(P6)
正規部分群。Hを有限群Gの部分群とする。Gの全ての元aについて、aH = Haが成り立つ時、HをGの正規部分群という。
剰余群。HがGの正規部分群である時、GのHによる剰余類g1H, …, gdHが、
(giH)(gjH) = gigjHという演算について群になる。この群をGのHによる剰余群という。G/Hと表す。
半分の部分群は正規部分群。HがGの部分群で、GのHによる指数が2の時、Hは正規部分群。
群の準同型写像。群G、G’について、GからG'の写像fがある。Gの任意の2つの元x, yについて、f(xy) = f(x)f(y)が成り立つ時、fをGからG'への準同型写像という。
fを群Gから群G'への準同型写像とする。Im(f)、Ker(f)は群である。
準同型定理。写像fが群Gから群G'への準同型写像であるとする。N=Ker(f)とすると、G/N は Im(f)と同型。つまり、群Gの写像fの核Ker(f)による剰余群が、写像fの像Im(f)と同型である。（全単射であり、構造を保つ）
同型を作ろう、第二同型定理、第三同型定理。
部分群であるための条件。Hが群Gの部分群であることと、Hの任意の元x,y についてxy, x^(-1)が含まれることは、同値。
部分群の演算。H, Nが群Gの部分群である時、HとNの共通部分は、Gの部分群。特にNがGの正規部分群なら、HNは部分群。
第二同型定理。Hが群Gの部分群、Nが群Gの正規部分群である時、H/(H∩N) とHN/Nが同型。
第三同型定理。N, Mを群Gの正規部分群とし、N⊃Mを満たす時、(G/M)/(N/M) と G/Nが同型。
あみだくじのなす群、対称群Sn
置換。n個の数字の置換についての群を、n次対称群という。
横棒一本に対応する置換を互換という。
置換は互換の積。n次対称群のSnの元は互換の積で表される。その互換の数の偶奇が大事。
対称群Snのうち、偶置換の集合は群であり、n次交代群と言われる。Anと表す。
σをSnの互換とすると、Sn＝An∪σAn、[Sn:An] = 2, 剰余群Sn/Anは巡回群。
Anの任意の元は三換の積で表される。
可解群。Gに対する、G = H0 ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ … ⊃ Hs = {e} という部分列に置いて、HiがHi-1の正規部分群になっていて、剰余群Hi-1/Hiが巡回群となる時、Gを可解群という。
HiがHi-1の正規部分群となっている部分群の列を正規列という。さらに、そのHi-1/Hiが巡回群となる時、可解列という。
Gが可解群ならば、Gの部分群Hは可解群である。
5次以上の交代群Anは可解群ではない。
5次以上の対称群Snは可解群ではない。
Gが可解群であり、fがGからG'への準同型写像であるとすると、f(G)は可解群。
Nが群Gの正規部分群である時、Gが可解群であることと、N, G/Nが可解群であることは同値。
基本対称式で表そう、対称式
解と係数の関係。対称式。基本対称式。
対称式の基本定理。多項式の対称式は、基本対称式で表すことができる。
Fp上の多項式は整域。整数係数の多項式f(x) の係数が全てpで割り切れ、整数係数の範囲でf(x)=g(x)h(x)と因数分解されている時、g(x), h(x)の何か一方は、全ての係数がpで割り切れる。
有理数係数多項式の既約性。整数係数の多項式f(x)が整数係数で既約多項式ならば、有理数係数でも既約多項式である。
Eisensteinの判定条件。既約多項式かどうか判定する条件。
多項式の一次不定方程式。a(x), b(x)が互いに素な多項式である時、任意の多項式H(x)に対して、a(x)F(x) + b(x)G(x) = H(x)を満たす多項式の組み(F(x), G(x))で、G(x)がa(x)の次数より小さいような組みが存在。
既約多項式の性質。
既約多項式で割っても体、Q[x]/p(x)
有理数係数の多項式の集合Q[x]に含まれる多項式をp(x)で割った余りで多項式を分類した、剰余類の集合をQ[x]/p(x)と書く。
既約多項式による体
p(x)をQ上の既約多項式とすると、Q[x]/p(x)は体である。
加法定理、絶対値、偏角
ド・モアブルの公式
円をn等分する点、1のn乗根
1の原始n乗根。個数はφ(n)個ある。つまり、nと互いに素な数の個数ある。
1の原始n乗根を解に持つ方程式、円分多項式
n次方程式には必ず解がある、代数学の基本定理
代数学の基本定理。複素数係数のn次多項式x^n + … + a0 = 0は、複素数の中にn個の解を持つ。
円分多項式の既約性。Φn(x)はQ上で既約である。
体と自己同型写像
無理数の計算を簡単にしよう、Qsqrt{3}の対称性
体の定義
代数的数を足した体を代数拡大体という。
体の同型写像
この計算どこかで見たぞ、Q[x]/(f(x)) simeq Q(alpha)
αを解に持つ有理数係数方程式のうち次数が最小のものを、αのQ上の最小多項式という。これは、Q上の既約多項式
次数がnなら、Q(α)をn次拡大体という。
多項式の剰余類群と単拡大体
Q[x]/f(x) \simeq Q(α)
同型はn個、Q(α1) simeq … simeq Q(αn)
n次既約多項式の解αiについて、Q[x]/f(x) \simeq Q(α1) simeq … simeq Q(αn)
体の次元を捉えよう、線形代数の補足
方程式の解を含む体
４次方程式の例、中間体
2段拡大
固定群と固定体が対応している！、ガロア対応
拡大体は全て単拡大体
同型写像ではみ出ない
2段拡大理論で証明しよう。、ガロア対応の証明
根号で表す。
1のn乗根を冪根で表す。
３次方程式をべき根で解く
3次方程式のガロア対応を調べよう
4次方程式をべき根で解こう
4次方程式のガロア対応を調べよう
１の冪根の作る体
x^n - a = 0の作る拡大体
巡回拡大はx^n - a = 0で作れる
ピークの定理に立とう
五次方程式の解の公式はない
感想（ブログ執筆者）
