圏論的にガロア理論を学ぶ

  • こちらの文献を調べる。
    • 細かい所を抑えつつ、全体的な構造を、自分なりに考えたい。
    • 大事なこと
      • 定型表現をしる
      • 物事の意味を考える時、他の意味を考える。
      • 状況や気持ちを考える
  • 始めましょうか

こちら。

  •  論は対象と性質の関係の類似性を見つけるのに使える
    • 異なる数学的分野でも同じ見方に
    • 詳細に踏み込まず、簡単に思考出来ることがある
  • ガロア理論を圏論で説明する
    • ガロア理論は、体論と群論の架け橋
    • 関手がその橋渡しの役目
      • 関手は異なる数学分野を片方から他方へ構造を保って行く道
  • 圏論の復習
    • 圏は、対象と射と、以下のものから構成される
      • 各射はdomain, codomainをもつ
        • f: c_1 \rightarrow c_2
      • 圏の射の合成則
        • 合成という二項演算に対して閉じている
      • 各対象について、恒等射を持つ
      • 射の合成は、結合的
        • (a*b)*c = a*(b*c)
    • 圏が小さい
      • 対象や圏のクラスが、集合である。
    • 例
    • 圏の間の写像を調べることに価値がある。
      • 圏の構造を知ることに繋がる。
  • 関手
    • 射の合成則について、準同型写像
    • 恒等写像あり
    • Covariant, contravariant
    • 射の向きの対応付け方が順方向か逆方向か
  • 自然変換
    • 関手から関手に写す
    • 行列の基底を変えるイメージ
  • RVectBasis
    • (V,β)、(W,γ)を対象とする
    • Tが射
    • Id、Φが関手で
    • IdからΦに写すものが、自然変換
  • Galois Theory
    •  Fを体とする
    • KをFを包含する体とする
    • KがFの拡大体であるという
  • Aut（K/F）は、Kの全ての体自己同型写像の集合とする
    • ただし、σ|F＝IdF
    • F上なら、全て同じものを返す 
    • 写像合成を二項演算とすると、群をなす
  • 体KがF上でGaloisである
    • |Aut(K/F)| = [K:F]
    • F上は同一視するから、それ以外の部分で次元が合えば良い、という話
    • Aut（K/F）を拡大体K/Fのガロア群という
      • 群構造＋次元の制約がうまいこと行く
  • 命題：KはFの拡大体であるとする。Kの要素αが体F上で代数的であるとする。
    • \sigma \in Aut (K/F)について、 \sigma ( \alpha )は、体F上でのαについての最小多項式の根であるという。
    • 復習：Aut(K/F)は、体K上の全ての体自己同型写像で、F上の要素はそのまま返す。
      • だから、 \sigma(f(\alpha))なら、係数は全てFの要素なので、そのまま返す。しかし、αはそのまま返さなくても良い。なぜなら、Kの要素であって、Fの要素であるとは限らない（包含関係より）
        • αが根なら、σ(α)も根、というのはそういうこと。
  • 定理：（ガロア理論の基本的な定理）K/Fをガロア拡大とする
  • これを圏論的に話す。
    • Kを体Fのガロア拡大とする。
    • LをFとKの間の中間体を対象とし、その包含関係を射とする圏とする。
    • GをGal(K/F)の部分群を対象とし、その包含関係を射とする圏とする。
    • 反変関手S:L→Gを定義して、 S(L) = Gal(K/L)とする。射i:L1→L2は、 S(i): Gal(K/L_2) \rightarrow Gal(K/L_1)とする。
    • 包含関係が逆転しているけれど、構造は保たれる。これが反変関手。

ガロア拡大と自己同型写像について、包含関係の意味合いや、圏論的な気持ちが解ったので、今は良しとする。

バイバイ！