有限アーベル群Gの位数#G
#Gは素因数分解を使う。
それぞれの素数に対して、シロー部分群が対応して、
Gがそのシロー部分群の直積と同型である。
p群、位数がpの冪乗で表される群
群の中心、群の任意の要素について、左からでも右から作用しても変わらない要素からなる群。
部分群Hの中心化群とは、どのHの元についても左からかけようが右からかけても変わらないGの要素の集合。
数学的に記述すると、
共役類
元と元の関係としての、共役。
a,bが共役とは、なる
が存在することを言う。
この共役による同値類を共役類と言う。
類等式
有限群の位数は、共役類の位数の総和と等しい。
群の中心に属する元は、定義よりそれぞれ一つの元のみで共役類を構成する。
群の中心に属さない元は、複数の元で共役類を構成する。
正規部分群とは、部分群であり、を満たすもの。Gの元で左と右で挟んでも、閉じてます、と言うもの。
これの嬉しいところは、左剰余類と右剰余類が一致すること。
また、Gがアーベル群なら、G/Nもアーベル群になること。
Gが有限群なら、となること。これは、ラグランジュの定理。
つまり、Gが有限アーベル群なら、G/Nは位数|G|/|N|のアーベル群になる、と言うこと。
Gを有限群とすると、xの共役類C(x)の位数は、となる。
つまり、群の位数をxの固定化群（左からかけて右から逆元で挟んでも同じ、と言うような左の元の集まり）の位数で割ったものと等しい。
例えば、群の中心のものなら、固定化群は全ての元なので、共役類の位数は１となる。
これを利用したら、p群の中心の位数が1でないことを証明できる。
群の中心は、Gの全ての元と可換になるような元全体のなす集合で、常に正規であり、アーベル群でもある。
正規部分群は、群の任意の元による内部自己同型の元で不変な部分群（from wikipedia)
Gを有限群、pをGの位数の素因数とする。pと互いに素な自然数mを用いて、と書くと、
となる部分群Hをシローp部分群と言う。
