表現論その１　有限群の表現

  • 表現論についてテキパキ見ていく
  • こちらの文献

  • http://rtweb.math.kyoto-u.ac.jp/preprint/nagoya.pdf

  • abstract
    • 表現論は、数学・物理学について、有効に使用されてきた。
    • 群、作用、群環の表現、誘導表現、intertwining 作用素、Frobeniusの相互律行列群、一般線型群、直交群
  • 群の作用
    • 群については
      • 二項演算が結合則を満たし、単位元と、すべての元について逆元がある構造物を考える。
    • 群とは別に集合を用意して、それぞれの要素を取り出して、集合の要素を返すような写像を考える。
    • それがある条件を満たした時に、その写像を群の作用という。
      • 群の単位元を入れたら、集合の要素をそのまま返す
      • ある種の結合則みたいなのが成り立つ。
        • つまり、群の要素を２つa, b用意して、
        • aを作用させて、bを作用させるという操作でできたものと、
        • baを作用させてできたものが等しいということ
    • この考え方を利用すれば、集合の各要素を通るG軌道なる考え方ができる。
    • つまり、ある要素（固定）に、群の要素を作用させてできる要素の集合
      • 力学系の時の軌道と考え方が似ている。（あれは半群）
    • この写像は、連続写像であったり、可微分写像や、多項式写像であったりと、様々な付加的な条件がつくことがある。
      • 自己同型群とかもそう。
    • 群が群地震に作用する例
      • 左移動、右移動
      • 右移動の時は逆元を使うことに注意。（これは、結合則の要請）
    • 随伴作用
      • Ad(g)x = gxg^{-1}
      • 随伴作用の軌道は群の共役類
    • 作用の大きさと無駄の無さを定義したいらしい。（？）
    • 少し進める。
    • 作用が推移的であること
      • 任意の2つの集合の要素について、
      • 片方から他方へと返すような群の要素が存在すること。
    • 作用が効果的にであること
      • 任意の集合の要素について、 gx = xなら、 g= eであること。
      • つまり、単位元以外は、なんらかの変化を起こすこと（対偶）
    • 作用が自由であること
      • 固定部分群が単位元といつも一致すること。
      • つまり、すべてのxについて、 G_x = \{ g \in G | gx = x \} = \{e \}
      • 言い換えると、いつも効果的であるということ？。
      • →自由なら効果的、逆は成り立たない。
    • ある程度わかった。
    • 作用が推移的であるということは、それなりに多くの要素を要するし、効果的であるというのは、自己同型の観点から、だぶりが無いことを表している。
    • ついでに、中心化部分群について
    • 正多面体群
      • 正多面体をくるくると回すことは、ある種の変換である。
      • この変換を、群とみなす。
    • 正多面体の面・辺・頂点の集合の直積集合の部分集合で、かつ、面・辺・頂点に包含関係がある
      • 元は旗と言われる
      • 正多面体群は、旗へ、推移的かつ自由に作用する。
      • \#G = \# \mathbb{B} = 2nk
      • 部分旗、なる考え方も出てくる
      • 回転移動全体のなす部分群 Hを考える
      • \# H = nk
      • G/H = \mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z}
    • n次対称群
      • n個の要素がある集合から、それ自身に写す、全単射全体の写像の合成によって積を定義した群を、n次対象群という。
      • 全ての部分集合、冪集合を考える。
      • 旗の集合
      • \mathbb{B} = \{ (F_0, F_1, \cdots , F_n) | F_k \in 2^X , \# F_k = k , F_i \subset F_{i+1}  \}
    • じゃあ、旗ってなんなの？てなる
    • 何かしら大きな集合があって、それに包含される、小さな集合がある、（さらにこれを何回も繰り返す）
    • それぞれの集合から、要素を取り出して、塊で認識する。
    • その塊１つを旗、という。
  •  次へ続く