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Wiener Processとその周辺の単語たち

まず、単語力(体力)がないので、それをつけるために、必要な単語をまとめる。

Wiener Process

  • こちら
  • Wiener過程とは、実数値連続時間確率過程の1つである。
  • Brown運動との関わりがある。
  • 最初は0である。
  •  W_{t+u} - W_t, u \geq 0 は、過去の W_sによらない。
  • u秒間の変位は、分散がuの正規分布による。
  • Wtは時間について連続。
  • もし多項式偏微分方程式 (\frac{\partial }{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} ) p(x,t) = 0を満たすなら、確率過程 M_t = p(W_t, t)マルチンゲール
  • マルチンゲールとは、離散確率過程で、各値Xnの絶対値は有限値で、次の値の期待値は、前にかかわらず、直前の値となる、過程である。
  • バナッハ空間とは、完備のノルム付きベクトル空間である。ベクトル空間で、ベクトルの長さとベクトル同士の距離を計算できて、ベクトルのコーシー列がwell definedな極限に収束する。
  • ちなみにHilbert空間は、Banach空間である。内積の方が厳しい。
  • 確立論でのFiltration。確率空間を (\Omega, A, P)として、全順序つき添え字集合Iについて、 i \in Iとして、 F_iをAのσ部分代数とする。すると、もし、for all  k \leq l, F_k  F_lならは、 \mathbb{F} = (F_i)_{i \in I}をフィルトレーションという。添え字の順位が上がっていくにつれて、領域が拡大していく様。癌は前の領域も含んだまま拡大していくので、時間という添え字のついてFiltrationとして見なすことが出来る。
  • 確率空間。Probability Space。確率空間とは、全空間の測度が1となる測度空間のことである。
  • 確率空間のさらに拡張した定義。確率空間は三つ組みで (\Omega , F, P)で、
    • Ωは標本空間(∅ではない)
    • Fは 2^{\Omega}に含まれるσ代数。つまり、Ωの部分集合(イベント)の集合。
      • FはΩを含み、
      • FはAを含むなら、Ω\Aも含み、
      • Fは可算の連結について閉じている。Fの要素をいくつも(無限個)合併してもFの要素。(シールにシールはってもシール)
      • ついでに、De Morganの法則を使えば、共通部分についても閉じていることが言える。
    • 確率測度Pとは、F上の関数で、
      • 準同型っぽい関係。Fの独立な部分集合Aiについて、 P(\cup_{i=1}^{\infty} A_i ) = \Sigma_{i=1}^\infty P(A_i)
      • 全標本空間の測度は1。規格化している。
  • 可測関数について。可測空間、つまり標本集合とσ代数が備わった空間を考える。2つの可測空間があったとして、一方から他方に対応づける関数のこと。
    •  f: X \rightarrow Y, f^{-1}(E) = \{x \in X | f(x) \in E\} \in \Sigma for every  E \in T
  • マルチンゲールの一般的な定義では、確率過程Yがバナッハ空間Sでの値を取るとき、Y: T×Ω→SがフィルトレーションΣ*と確率測度Pについて、マルチンゲールであるとは、
    •  \Sigma_{*}は確率空間 (\Omega, \Sigma, \mathbb{P})
    • Yはフィルトレーション \Sigma_{*}に適応する。(つまり、添え字集合Tの要素tについて、ランダム変数 Y_t \Sigma_t 可測関数である。
    • for each t, YtはLp空間  L^1(\Omega, \Sigma_t , \mathbb{P}: S)として、 E_{\mathbb{P}} ([Y_t ] ) <+\infty
    • for all s and t with s  \leq t and all F ∈ \Sigma_s E_{\mathbb{P} }[Y_t - Y_s]_{\chi_F} = 0
  • もし仮に血圧の挙動がマルチンゲールだとすると、過去の病歴にかかわらず、1秒後(年後)の血圧の値の期待値は、今の値と一緒。という具合である。

バイバイ!