Wiener Processとその周辺の単語たち

まず、単語力（体力）がないので、それをつけるために、必要な単語をまとめる。

Wiener Process

こちら。
Wiener過程とは、実数値連続時間確率過程の1つである。
Brown運動との関わりがある。
最初は0である。
$W_{t+u} - W_t, u \geq 0$ は、過去の $W_s$ によらない。
u秒間の変位は、分散がuの正規分布による。
Wtは時間について連続。
もし多項式が偏微分方程式 $(\frac{\partial }{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} ) p(x,t) = 0$ を満たすなら、確率過程 $M_t = p(W_t, t)$ はマルチンゲール。
マルチンゲールとは、離散確率過程で、各値Xnの絶対値は有限値で、次の値の期待値は、前にかかわらず、直前の値となる、過程である。
バナッハ空間とは、完備のノルム付きベクトル空間である。ベクトル空間で、ベクトルの長さとベクトル同士の距離を計算できて、ベクトルのコーシー列がwell definedな極限に収束する。
ちなみにHilbert空間は、Banach空間である。内積の方が厳しい。
確立論でのFiltration。確率空間を $(\Omega, A, P)$ として、全順序つき添え字集合Iについて、 $i \in I$ として、 $F_i$ をAのσ部分代数とする。すると、もし、for all $k \leq l, F_k$ ⊆ $F_l$ ならは、 $\mathbb{F} = (F_i)_{i \in I}$ をフィルトレーションという。添え字の順位が上がっていくにつれて、領域が拡大していく様。癌は前の領域も含んだまま拡大していくので、時間という添え字のついてFiltrationとして見なすことが出来る。
確率空間。Probability Space。確率空間とは、全空間の測度が1となる測度空間のことである。
確率空間のさらに拡張した定義。確率空間は三つ組みでで、
- Ωは標本空間（∅ではない）
- Fはに含まれるσ代数。つまり、Ωの部分集合(イベント）の集合。
  - FはΩを含み、
  - FはAを含むなら、Ω\Aも含み、
  - Fは可算の連結について閉じている。Fの要素をいくつも（無限個）合併してもFの要素。（シールにシールはってもシール）
  - ついでに、De Morganの法則を使えば、共通部分についても閉じていることが言える。
- 確率測度Pとは、F上の関数で、
  - 準同型っぽい関係。Fの独立な部分集合Aiについて、 $P(\cup_{i=1}^{\infty} A_i ) = \Sigma_{i=1}^\infty P(A_i)$ 。
  - 全標本空間の測度は1。規格化している。
可測関数について。可測空間、つまり標本集合とσ代数が備わった空間を考える。2つの可測空間があったとして、一方から他方に対応づける関数のこと。
- $f: X \rightarrow Y, f^{-1}(E) = \{x \in X | f(x) \in E\} \in \Sigma$ for every $E \in T$ 。
マルチンゲールの一般的な定義では、確率過程Yがバナッハ空間Sでの値を取るとき、Y: T×Ω→SがフィルトレーションΣ*と確率測度Pについて、マルチンゲールであるとは、
- $\Sigma_{*}$ は確率空間 $(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$
- Yはフィルトレーション $\Sigma_{*}$ に適応する。（つまり、添え字集合Tの要素tについて、ランダム変数 $Y_t$ は $\Sigma_t$ 可測関数である。
- for each t, YtはLp空間　 $L^1(\Omega, \Sigma_t , \mathbb{P}: S)$ として、 $E_{\mathbb{P}} ([Y_t ] ) ＜+\infty$
- for all s and t with s and all F ∈、
  - これを言い換えると、 $Y_s = E_{\mathbb{P}} (Y_t |\Sigma_s)$ 。これは、マルチンゲールっぽさだよね。
もし仮に血圧の挙動がマルチンゲールだとすると、過去の病歴にかかわらず、1秒後（年後）の血圧の値の期待値は、今の値と一緒。という具合である。

バイバイ！