ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

超幾何級数・超幾何分布・壺問題

まずはこちらをまとめる。

  • 超幾何級数の定義
    • テイラー展開のような形。
    • ただし、その係数が複雑
    • 具体的には、fFs(a_1, ..., a_r;b_1,...,b_s;z) = \Sigma_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n \cdots (a_r)_n}{(b_1)_n \cdots (b_s)_n} \frac{z^n}{n !}
      •  (a)_n= a(a+1) \cdots (a+n-1), (a)_0 = 1
    • (r,s) = (2,1)の場合を言うこともあるらしい
  • 超幾何級数の例
    • コサインは超幾何級数で表される。
      • 気持ち的に、テイラー展開出来る、というのを、少し見かけを変えただけ。
    • [tex: cos(z) =_0F_1(; \frac{1}{2}; -\frac{z^2}{4})
  • Pfaff-Saalschutzの和公式
    •  \quad_3F_2 (a,b,-k; c,1+a+b-c-k;1) = \frac{(c-a)_k(c-b)_k}{(c)_k(c-a-b)_k}
    • 左辺は級数、右辺は分数式、に見える

ここまでで、少しまとまった。

もう少し深掘りしよう。こちらのサイト

  • 収束条件について
    • rがs+1より大きいと発散
    • 小さいと絶対収束
    • 等しいなら、
      • |z|が1より大きいなら発散
      • 小さいなら絶対収束
        • 絶対収束とは、各項の絶対値を取って得られる級数の和が有限の値になること。
      • 等しいなら
        •  \Sigma Re(a_j) - \Sigma Re(b_j)が負なら絶対収束し、
        • 正なら発散
        • ここには、ラーベの判定法、というのが関わっているらしい。(今は置いておく)

 

超幾何級数と似た単語で、超幾何分布、というものがある。このサイトをまとめて見る。

  • 成功状態をもつ母集団から非復元抽出したときに成功状態がいくつあるか、という確率をくれる。
    • 具体的には、N個のうちK個が当たりとして、n個取ったらk個当たりである確率
    • [tex: \frac{(_KC_k)(_{N-K}C_{n-k})}{(_NC_n)}
  • Nが大きくなると、二項分布に近づく。
  • K/Nが小さく、抽出数nが大きいなら、ポアソン分布に近づく。
  • 性質
    • 期待値は復元抽出と同じ
    • でも、分散は \frac{nK(N-K)(N-n)}{KN(N-1)}.
      • こちらのサイトに立ち寄る
      • 少し異なるが、母平均が \muで、母標準偏差 \sigmaの大きさ Nの母集団から無作為抽出した大きさ nの標本の平均の分散は、
        • 復元抽出は、 \frac{\sigma^2}{n}
        • 非復元抽出は、 \frac{N-n}{N-1}\frac{\sigma^2}{n}
      • つまり、非復元にした方が、分散は小さくなる
  • 多変量超幾何分布に拡張して考えることも出来る。

ここで、超幾何分布がフィッシャーの正確検定と関連がある。こちら

  • 2×2の表が得られたときの、そのような表が得られる確率は、 p=\frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{n!a!b!c!d!}となる。

関連する話として、壺問題、というものがある。こちら

  • 壺によく混ぜ合わされた球をランダムに取り出し、その色を観察する。その球を戻すか戻さないかをする。ということを繰り返す。
  • 求めたいことは、壺の中の組成や、球を取り出す確率、取り出す球の順列、など。
  • 統計物理学との関連がある。

 

とりあえず、超幾何関数、超幾何分布についてわかった。

次は、統計物理的にどう面白いのか、また、他の数学の分野と超幾何関数がどう関わるか(解析とか代数とか)について知りたいと思う。

バイバイ!