ただのメモ

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不静定力学に入門する!

こちらの資料を使う。

不静定力学については、たわみ、伸び縮み、回転角などを考える。こういう考え方は生体にも応用できるから学ぶ価値は大いにある。

  • 静定力学の復習(こちらMicrosoft PowerPoint - 00fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp))。これは、作用反作用の法則と、「静か」ということは力の総和ベクトルが0で、かつ回転させる力の総和も0となる。後は、適当な計算。
  • ここから、不静定力学1(こちらMicrosoft PowerPoint - fuseitei_1_1.pptx (kindai.ac.jp))。たわみ曲線の微分方程式。これを解けると、曲げによる変位が求まる。
    • 軸力と変形の関係 P = EA\epsilon、せん断力と変形の関係 Q = GA\gamma、曲げモーメントと変形の関係[tex : M = -EI\Phi]。全部一次なので綺麗に揃う。Aは断面積、Eはヤング係数、Gはせん断弾性係数、Iは断面2次モーメントである。
    • 曲げる時、どれくらい曲げるか、が角度である。角度がどれほど変わったか、すなわち曲率は、 \phi = \frac{1}{\rho} = \frac{d^2 v}{dx^2}となる。ρは曲率半径。
    • たわみ曲線の微分方程式は、\frac{d^2 v}{dx^2} = -\frac{M}{EI}となる。ただし、 I = \int\int_S y^2dydzとなる。
    • 後は、境界条件やらで解ける。
  • 次に、モールの定理を見ていこう。(資料はこちらMicrosoft PowerPoint - 02fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp))モールの定理は、曲げに対する変位の議論で出てくる。
    • たわみ曲線の微分方程式\frac{d^2 v}{dx^2} = -\frac{M}{EI}
    • せん断力と荷重。曲げモーメントとせん断力の関係。 \frac{dQ_x}{dx} = - w_x,\\ \frac{dM_x}{dx} = Q_x
    • まとめると、 \frac{d^2 M_x}{dx^2} = -w_x。これは、たわみ曲線の微分方程式とも対応する。曲げモーメントとせん断力から、たわみと回転角が求まる。これがモールの定理。
    • 合体させると、 \frac{d^4v(x)}{dx^4} = -\frac{w(x)}{EI} 
  • モールの定理を使えば、不静定力学の問題を解ける。(こちらMicrosoft PowerPoint - 03fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp)
  • 仮想仕事法は、骨組み構造の変位を求められる。(こちらMicrosoft PowerPoint - 07_fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp)
    • 仮想仕事の原理とは、外力がなした仕事量と内力のなした仕事量が釣り合うという原理。(エネルギー保存則)。構造全体で、内力×変形を積分している。
  • なんとなく理解したので、最後はWikipediaを見に行く。(こちらモールの定理 - Wikipedia
    • 弾性荷重を作用させたはりの、曲げモーメント相当量と、せん断応力相当量を求めることが出来たら、もとのたわみとたわみ角が求まる、というもの。
  • これを使って構造解析してみたいね。後は、仮想的なものを考えて、現実のものを対応させる、という考え方も良い。

バイバイ!