不静定力学に入門する！ - 物理医学数学の日記

こちらの資料を使う。

不静定力学については、たわみ、伸び縮み、回転角などを考える。こういう考え方は生体にも応用できるから学ぶ価値は大いにある。

静定力学の復習（こちらMicrosoft PowerPoint - 00fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp)）。これは、作用反作用の法則と、「静か」ということは力の総和ベクトルが０で、かつ回転させる力の総和も０となる。後は、適当な計算。
ここから、不静定力学１（こちらMicrosoft PowerPoint - fuseitei_1_1.pptx (kindai.ac.jp)）。たわみ曲線の微分方程式。これを解けると、曲げによる変位が求まる。
- 軸力と変形の関係 $P = EA\epsilon$ 、せん断力と変形の関係 $Q = GA\gamma$ 、曲げモーメントと変形の関係[tex : M = -EI\Phi]。全部一次なので綺麗に揃う。Aは断面積、Eはヤング係数、Gはせん断弾性係数、Iは断面2次モーメントである。
- 曲げる時、どれくらい曲げるか、が角度である。角度がどれほど変わったか、すなわち曲率は、 $\phi = \frac{1}{\rho} = \frac{d^2 v}{dx^2}$ となる。ρは曲率半径。
- たわみ曲線の微分方程式は、 $\frac{d^2 v}{dx^2} = -\frac{M}{EI}$ となる。ただし、 $I = \int\int_S y^2dydz$ となる。
- 後は、境界条件やらで解ける。
次に、モールの定理を見ていこう。（資料はこちらMicrosoft PowerPoint - 02fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp)）モールの定理は、曲げに対する変位の議論で出てくる。
- たわみ曲線の微分方程式。 $\frac{d^2 v}{dx^2} = -\frac{M}{EI}$
- せん断力と荷重。曲げモーメントとせん断力の関係。 $\frac{dQ_x}{dx} = - w_x,\\ \frac{dM_x}{dx} = Q_x$ 。
- まとめると、 $\frac{d^2 M_x}{dx^2} = -w_x$ 。これは、たわみ曲線の微分方程式とも対応する。曲げモーメントとせん断力から、たわみと回転角が求まる。これがモールの定理。
- 合体させると、 $\frac{d^4v(x)}{dx^4} = -\frac{w(x)}{EI}$
モールの定理を使えば、不静定力学の問題を解ける。（こちらMicrosoft PowerPoint - 03fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp)）
仮想仕事法は、骨組み構造の変位を求められる。（こちらMicrosoft PowerPoint - 07_fuseitei_1.pptx (kindai.ac.jp)）
- 仮想仕事の原理とは、外力がなした仕事量と内力のなした仕事量が釣り合うという原理。（エネルギー保存則）。構造全体で、内力×変形を積分している。
なんとなく理解したので、最後はWikipediaを見に行く。（こちらモールの定理 - Wikipedia）
- 弾性荷重を作用させたはりの、曲げモーメント相当量と、せん断応力相当量を求めることが出来たら、もとのたわみとたわみ角が求まる、というもの。
これを使って構造解析してみたいね。後は、仮想的なものを考えて、現実のものを対応させる、という考え方も良い。

バイバイ！