several inequalities in paper of PDE

Sobolev inequality

 ||u||_{L^q(U)} \leq C ||u||_{W^{k,p}(U)}

基本的なイメージとしては、関数とその導関数のサイズ(ノルム)について、定数倍のオーダーで比較してくれるもの。

これを使いこなすことで、いろんなPDEについて議論できるとか。

 

Convex inequality

凸関数の性質を利用した不等式。

 

Minkowski's inequality

要は、 L^p(S)における三角不等式。

 

Hölder inequality

測度空間と、1以上のある2つの数、p, qについて、 1/p + 1/q = 1を満たすとき、

全ての可測実(または複素)関数f, gについて、

 ||fg||_1 \leq ||f||_p ||g||_q

等号成立条件については色々ある。

 

Jensen's inequality

有限和について、あるいは測度論的な積分の形で、凸関数について用いられる。

また、確率論において使われる。具体的には、

期待値に関数を噛ませたものと、関数を噛ませたものの期待値を比較する不等式。

これが、相加相乗平均の不等式や、Hölderの不等式を導出するのに使われるらしい。