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幾何学への入門

幾何学に興味が出たので、幾何学の分野の概観を知りたいです。そこでこちらのサイトを読んでまとめてみます。

1)単語力をつける、2)それらの単語の繋がりを知る、3)幾何学分野で何ができそうか考える

 

はじめましょうか。

 

幾何学概観

  • 幾何学とは、図形(かたち)(や空間)を研究する学問である。抽象的な図形を扱えるように進化している。
  • 位相幾何学は、図形の繋がり方(連続変形しても保たれる性質)について調べる学問である。繋がってるというのは、同じ場所はどこかなという話で、そういう意味での位置の学問ということか?
  • 微分幾何学は、図形の曲がり方について調べる学問(微分を使う幾何)である。一般相対性理論とかも関わりが深いが、可微分多様体とか、力学系も結びつきが強い。
  • 位相幾何学では、オイラー数という不変量を用いて、曲面の繋がり方を調べる。オイラー数は、簡単な場合、(頂点数)ー(辺数)+(面数)である。オイラーの多面体定理についての話。オイラー標数は、ベッチ数(様々な次元の「穴」)の交代和で定義される。
  • 微分幾何学では、ガウス曲率(曲面を法平面で切断した時の、法曲率の最大値&最小値(主曲率)の積)という、曲面上の関数を用いて、曲がり方を調べる。ガウス曲率は、曲面を変数で表して、その関数の二階導関数で計算する。(実際の求め方(トーラス)はこちら
  • ガウス・ボンネの定理「閉曲面上で、ガウス曲率を積分して得られる値は、その曲面のオイラー数の2π倍と等しい」(二次元リーマン多様体に関する話、境界付きなら、測地線曲率を線積分するが、これは、境界持たないコンパクトな曲面に関しては、無視される。一般化したものがあるらしい。)

    ja.wikipedia.org

    微分幾何学は、場所ごとの性質を見ていて、一方で位相幾何学は、全体でどんな感じか、というのを見ているけど、積分したら、結局同じものだよね、という話だ。
  • 位相幾何学では、位相空間論位相空間とは、集合Xとその開集合系の組のこと。開集合系とは、1)開集合Xや∅を含み、2)合併しても開集合として含み、3)有限個の交叉も開集合とする、ような部分集合の族のこと。開集合とその開集合が作る塊だ。)。ホモロジー論ホモロジー(同一である)とは、位相空間や群に、可換群や加群の列を対応させる手続きのこと。チェイン複体とかが関係しているそらしい)、代数的トポロジー幾何学トポロジー、などが(数学科の教育課程で)扱われる
  • 微分幾何学では、曲面論(第一基本形式、第二基本形式が曲面の形を決める。(一意!)体積一定なら、最小面積となる曲面は、平均曲率一定である。)多様体論(多様体論で、位相多様体とは、局所ユークリッドハウスドルフ空間。局所ユークリッド的とは、任意の点xに対する近傍と、n次元ユークリッド空間(空でない集合と、n次元実内積空間の組で、1)2点同士でベクトルが一意で、2)ベクトルの合成則、3)一点とベクトルを足すと、集合の一点を定める、の3つを満たすもの)の開集合が、同相となる。ハウスドルフとは、2点を分離する、開集合が存在する(交叉が∅))、多様体微分幾何学、などを(数学科の教育課程で)扱う。

ここからは研究分野紹介の雰囲気がする。

 

 まだまだ重要単語、知識はあるが、今回はこの辺りで。また別の記事で、深く掘り下げていきたい。