固有値, 実対称行列, エルミート行列, Spectral Graph Theory

実対称行列の固有値が実数であること。

固有値、固有ベクトルの関係と、 $Ax = \lambda x$ と、

それの共役転置の式を使って、

$\lambda = \bar{\lambda}$ であることを証明すればよい。

その固有ベクトルが直交することも、共役転置をとった上で、固有値が実数であることを利用して、異なる固有値に紐づいた固有ベクトルが直交することを証明できる。

つまりは、実対称行列であるということは、共役転置をとっても同じである、という構造を利用して証明に使っていけば良い。

こちらの記事を参考にした。

ちなみに、エルミート行列について、つまり共役転置が等しくなるような複素行列についても同じ議論が成立する。

こちらの記事が良い。

レイリー商と固有値の関係性として、 $R(M, x) = \frac{x^* Mx}{x^* x}$ なるレイリー商のとりうる値が、Mの最大固有値から最小固有値の間の値をとる。

そして、停留値は、固有ベクトルによって与えられる。その時の値は、固有値になっている。

（この辺りは変分法を使って導出される）

重み付きグラフラプラシアンのスペクトルを考える。

リーマン多様体のラプラスベルトラミ作用素のスペクトルに対応する。

この辺りのことはもう少し深掘りしたいが、もう少し違うことも考えていきたい気持ちである。