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月食と光とKirchhoffの積分定理

月食について知りたくなった。

  • 月食とは、太陽と月の間に地球が入ることで、地球の影が月にかかり、月が欠けて見える現象。
  • 月視点では日食。
  • 完全に欠けて見えるのが、皆既月食。部分的に欠けて見えるのが部分月食
  • 太陽の一部が地球によって見えないのを、半影食と言う。
  • 大気中の塵の量が少ないと、散乱される光の量が少なくなり、月が黄色っぽく見える。
  • 赤系統の色が大気によって屈折・散乱されることで、赤く見える。
  • 青色の光が来ないのは、青色の光が散乱されやすい。ということによる。これは空が青い理由に繋がる。
  • これをレイリー散乱という。
    • レイリー散乱が起こる条件としては、粒子径が波長より十分小さいこと。
    • レイリー散乱では、散乱された光の強度が散乱前と変わらない。つまり弾性散乱である。(物体の弾性衝突と同じイメージ)そして、等方散乱。
    • レイリー散乱では、散乱光の強度は、入射光の波長の4乗に反比例している。青い光は、波長が短いので、散乱光は強い。
    • 空の青さとの関わりはこちら

光の現象について興味が出た。光と言えば、散乱以外に、回折という現象がある。こちらをまとめる。

光の回折

  • 回折とは、光が物体を回り込んで伝播する現象。
  • ある軸上を光が伝播する場合、小さな開口を通過するときの回折。
    • ホイヘンスの原理を用いる。
      • ホイヘンスの原理は波動としての性質を表すもの
      • 点光源からの双極子放射を球面で近似した発想。
    • フレネル近似
      •  u(x_2,y_2,z) = \frac{ie^{ik_0z}}{\lambda_0 z} e^{-ik_0 (x_2^2+y_2^2 )/2z} \int \int_\Sigma u(x_1,y_1,0)e^{ik_0(x_2x_1+y_2y_1)/z } e^{-ik_0 (x_1^2+y_1^2 )/2z} dx_1dy_1
  • 式を追ったものの上手くわからなかったので、いったん置いといて、別のサイトを見てみる。

こちらのサイトを使う。

キルヒホッフの回折積分

  • 光は波なので、波動方程式を満たす
    •  \Sigma \frac{\partial^2 U}{\partial x_i^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}
    • 静的なことを考えて、Uは、時間と場所の関数だが、時間と場所の項を切り離せるとする。独立。
      •  U = u(r) exp(-i\omega t)
    • すると、いい感じの式が出来る。これは、波動の空間的な状態を示すヘルムホルツ方程式。
      •  \Sigma \frac{\partial^2 U}{\partial x_i^2}  k^2 u = 0
    • さらに、滑らかな閉曲面Sで囲まれた内部空間をVとして、V内および曲面S上で、関数 \phi , \psiがそれぞれ、それ自身とその1次、2次導関数が連続なら、グリーンの定理が成立する。(3次元のグリーンの定理はこちら
      •  \int_D dV(\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi) = \int_{\partial D} dS \cdot (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi)が成立する。
    •  \nabla^2 u + k^2 u = 0
    • グリーンの定理を満たすような関数Gを先に置く
      •  G(Q) = \frac{exp(iks)}{s}
        • これは球面波みたいなイメージ。
    • 球の中心を除いて表面積を考えて、グリーンの定理をしようとする。その際に、法線成分の傾きが必要になるが、これは、コサインで落とし込める
      • つまり、 \frac{\partial s}{\partial n} = cos(vector(n), vector(s))
  • 続編の資料はこちら
    • 上の操作をして、グリーンの式に当てはめると、最終的にヘルムホルツーキルヒホッフの積分定理が得られる。
    •  U(P) = \frac{1}{4 \pi} \int \int_S (U \frac{\partial }{\partial n} (\frac{exp(iks)}{s}) - \frac{exp(iks)}{s} \frac{\partial U}{\partial n} )d \sigma
    • 気持ち的には、球面の光源の光り方(U)が、外の球面(表面でも良い)にどう影響するか、というのを積分で表した数式。
    • 中身に、 exp(iks)/sが入っているのが特徴。これは、先述したグリーンの定理での閉曲面積分のため、そしてヘルムホルツ方程式を満たすため。
  • このKirchhoff's diffraction formulaは解析的にも、数値計算にも使われている。
    • 詳しくはこちら
    • キルヒホッフのように、点を、球状に膨らませたものに変換して考えると、面白いことがあるかもしれない。
      • 例えば、癌細胞1つを点、とすると、癌細胞の浸潤の仕方が等方的な場合、癌の組織の表面は球面となる。
      • 例えば、癌が浸潤してきて、スリットのように硬い組織に穴が空いているような場合、そこの穴を抜けた後どう広がるか、とか。
      • ここまでは一細胞レベルだが、分子レベルでの回折とかあっても面白そう。

これと似た資料で具体例が豊富な資料があった。円形の穴の回折で、円筒と関わりのあるベッセル関数が出てくる。これはパス。

バイバイ!