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統計物理学に入門!

まず、こちらの記事をまとめる。

「統計物理学の誕生」

  • 気体分子運動論を、確率論的に考えると、統計物理学が出来る。平衡系の熱力学(マクロ)と、気体分子運動論(ミクロ)を、ボルツマンの原理が結ぶ。ボルツマンの関係式から、古典統計物理が出来た。
  • 気体分子運動論。粒子論的に気体を議論する。運動の等方性は弾性衝突から保証される。衝突すると、速度変化し、運動エネルギーも変わるので、全体としては、揺らぎが出てくる。それを、分布として扱う。確率は最初にここで絡む。
  • 気体だけでなく、器壁との吸着過程も、確率過程と考える流れになる。注目すべきは、個々の衝突の議論でなく、分布を認めたうえで、全体として、どうなるか、という視点に立っている。
  • 気体分子の速度分布の唯一性。最終、平衡状態では、マクスウェル分布になる。
  • ボルツマンの原理とボルツマンの関係式。気体分子の運動論的状態は、位置と速度で決まると考えると、総EnergyがUでも、運動状態は様々(高次元空間の超曲面?)。Uのかんすうとして、運動論的状態の数 \Omega (U)を考える。古典力学的な意味はない。どの運動論的状態も実現確率が同じ、つまり一様分布だとする。(等重率の仮定、エルゴード仮説)。エントロピーは和をとる。運動論的状態は積をとるので、 S(U) = k_B log \Omega (U)となると考えた(ボルツマンの原理)(論理的に導かれたわけではなかった)
  • 統計物理の始まりと目標。平衡状態の確率論的解釈(気体の状態方程式とか)、非平衡状態の確率論的解釈(熱伝導や粘性)、非平衡状態から平衡状態への変化の確率論的解釈。
  • エネルギーの等分配則。運動と位置と回転と振動の自由度によって、エネルギーが決まる。個体の場合は、1次元当たり、運動と位置のエネルギーがあるので、3Rが比熱となる。
  • 部分系の統計物理学。温度Tの熱浴に接している物体のエネルギーがUとなる確率は、 \exp(-\frac{U}{k_B T})に比例する。
  • 部分系の状態密度と分布関数。等重率は、あくまで、Uに関する分布関数の平均値<U>に代表させた値で、割った近似則である。
  • エネルギー等分配則の破綻。1)理想気体の比熱比、2)固体の比熱、3)金属の比熱、4)放射式

 

次に、こちらのノートをまとめる。

気体分子運動論

  • ブラウン運動と分子論。分子が乱雑な運動をする。これは、周りからぶつかられているから。と、間接的な水分子の存在証拠を得る。定量的には、アインシュタインの理論
  • 速度分布。位置や速度は、時間によってバラバラである。空間的には一様でも、速度空間では定常分布と考えられる。等方的だとすると、速度空間の積分が(楽に)出来る。 \int \int \int f(\mathbb{v}) d\mathbb{v} = n
  • 気体分子運動論。
  • 平均自由行路。1つの分子がほかの分子と衝突してから次に衝突するまでに進む平均距離。(速さの特徴量) \lambda = \frac{1}{4\sqrt{2}\pi a^2n} 穴をあけると、気体が漏れ出す可能性があるが、この時平均自由行路より穴の直径が大きいと、平均流として出る。同じくらいなら、分子のみが飛び出す。
  • 準静的仕事と熱。等エントロピー変化で、速度空間の対応するエネルギーが変わるだけ、分布数は同じ。熱は分布数を変える。気持ち的には取りうる状態の数は、エントロピーを介して、分布に関わる
  • マクスウェル分布。速度分布の形。全粒子数と全エネルギーが一定であるうえで、状態の組み合わせの数が最大のものを求める。スターリングの式で近似。 log G = N (logN-1) -\Sigma_i N_i (logN_i-1)について、ラグンジュの未定乗数法を使って、 \delta logG +\alpha \delta N - \beta \delta E = \Sigma_i [-logN_i +\alpha -\beta \epsilon_i]\delta N_i =  0 とすると、 N_i = A exp(-\beta \epsilon_i)となり、マクスウェル分布が出てくる。

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    速さの分布も得られる。
  • マクスウェル-ボルツマン分布。エネルギーを、位置エネルギーを含めたモデル。重力のマクスウェル-ボルツマン分布は有名。
  • ボルツマン方程式とH定理。平衡分布に到達する仕方を見る。
    •  \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{d r}{d t} \cdot \nabla f + \frac{d v}{d t} \cdot \nabla_v f 
    • 外力も含めると、分布関数の時間的変化が衝突によって起きる分布の変化と等しいとみた、ボルツマン方程式。 \frac{\partial }{\partial t} + v \cdot \nabla + \frac{K}{m} \cdot \nabla_v ) f = (\frac{\partial f}{\partial t} )_{coll} \\ = -\int dv_1 \int d\omega C(S) f(v)f(v_1) + \int dv_1^{'} \int d\omega C(S^{'}) f(v^{'}) f(v_1^{'}) 
    • 衝突に関して、衝突数の仮定
    • H定理。分布関数から作られる関数 H(t) =\int dvf(v, t) log\quad f(v,t)を考えると、 \frac{dH}{dt}\leq 0。等号成立条件は、 f(v)f(v_1) = f(v^{'}) f(v_1^{'})が成立する時。

次から、位相空間の話に入る。もう少し頑張りたい。

バイバイ!