こちらの記事をまとめる。
- 箱玉系とは、箱から箱へ玉を移動させるゲーム。セルオートマン系(力学系の特殊形)
- ソリトン解を持つ、保存量を持つ、初期値問題が解ける、ソリトン散乱がYang-Baxter関係式を満たす、状態空間を量子代数で表現、時間発展規則を表現のIntertwinerで書ける。などの良さを持つ。古典非線形可積分系(ソリトン方程式など)と、量子非線形可積分系(可解格子模型など)を結ぶ系である。
- 箱玉系とその運動方程式。セルオートマンは、有限の状態をとるセルからなる、可算個の状態を遷移する離散力学系である。生物の形態形成や交通渋滞など
- 箱玉系は、箱から箱へ移動する玉の力学系として表現されたもの。箱玉系は、1列に並んだ同じ大きさの箱と、箱に丁度1個だけ入る同じ種類の玉である。有限個の玉を入れた配置を、箱玉系の状態と呼ぶ。それが変化していく。
箱玉系の状態変化
- 玉のコピーを作る
- コピーの中の1つを最も近い右の空箱に移動させる。
- 残りのコピーの中の1つを最も近い右の空箱に移動させる
- 全てのコピーを移動させるまで3.の操作を繰り返す。
- もとの玉を消去する
これが1つの変化である。
- 箱玉系の性質。1)玉の列の速度は長さに比例する、2)2つの玉の列は衝突の前後で変化なしで位置はシフトする。KdV方程式のソリトンのふるまいに似る。1)速度が振幅に比例し、2)産卵の前後でソリトンの大きさは変化せず位相が変化する。連続した玉の列は「ソリトン」、長さは「ソリトンの振幅」
- 時刻tでのn番目の箱にある玉の数をとする。すると、箱玉系の運動方程式 気持ちは、どんな系を考えるか、で運動方程式も変わる、といいうことを忘れないでいよう。
- 箱玉系の保存量。N個の粒子からなる戸田方程式はN個の独立な保存量を持つ。N個のソリトンから構成される箱玉系もN個の保存量を持つ。
- 10の数をp1
- 10を消去し、10の数をp2
- 全ての1が無くなるまでする。
- p1, p2,..., pnが保存量
- 箱玉系の保存量は非減少列なので、ヤング図形としてとらえられる。
- 定理 「ある有限の時刻Tが存在し、では、系の状態は右側からソリトンが長さの準に並んだ状態になり、L1, L2,...はそのソリトンの長さを順に並べたものに等しい」。つまり、ヤング図形と、最終状態のソリトン順序付き集合が対応するということ。
- 箱玉系と超離散KdV方程式。KdV方程式は、浅水波などの非線形波動を記述する式。。これを連続極限で含む、可積分な離散方程式を離散KdV方程式とかく。ここで、とかくと、佐藤理論から、Nソリトン解が得られる。
- 区分線形方程式で書く。とおくと、なる、区分線形方程式が書ける。極限操作で、ある方程式から区分線形方程式を作ることを、方程式の超離散化という。そこからもソリトン解を導けるが、それは省く。
後は、細かくは立ち入らないが、単語だけ拾う。
- 周期箱玉系の基本周期。リーマン予想。ベーテ仮説方程式、ストリング仮説。転送行列。
- 箱玉系の拡張。初期値問題。幾何学的な側面。可解格子模型。クリスタル。量子代数。超楕円曲線。ヤコビ多様体。トロピカル超楕円曲線。力学系。
バイバイ!